Seja um cabo de 1000 metros de comprimento, constituído por 19 fios de cobre de seção transversal circular com 1,4 mm de diâmetro. Calcule as resistências a passagem de corrente contínua, de um fio e do cabo. Considere a temperatura de
em que para o cobre
e despreze o encordoamento.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos as resistências, para corrente contínua, de:
- um fio de cobre de comprimento
e seção circular de diâmetro ; - o cabo formado por
desses fios (desprezando o encordoamento, ou seja, tratando-os como 19 condutores idênticos em paralelo).
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
Número de fios no cabo:
.
Passo 2
Primeiro passo prático: converter unidades e calcular a área da seção transversal do fio (círculo). Explico a fórmula e cada variável:
- Diâmetro em metros:
- Raio
é metade do diâmetro:
- Área da seção transversal (fórmula do círculo): se
é a área e o raio,
Agora calculamos
e
:
Comentário didático rápido: aqui convertemos milímetros para metros porque a resistividade
está em
; as unidades devem coincidir para o resultado sair em ohms.
Passo 3
Agora a fórmula básica da resistência ôhmica para um condutor homogêneo e de comprimento
é:
Onde:
-
é a resistência em , -
é a resistividade do material em , -
é o comprimento em , -
é a área da seção transversal em .
Substituindo os valores (mostrando todos os passos numéricos):
Calculo intermediário do numerador:
Então
Dividindo:
Explicação curta sobre as unidades: os
do numerador e do denominador cancelam, sobrando apenas
, como deve ser.
Passo 4
Agora vamos ao cabo com
fios idênticos. Quando temos resistores idênticos em paralelo, a resistência equivalente
é a resistência de um fio dividida pelo número de fios. Demonstração curta: para
resistores de resistência
em paralelo,
Aplicando com
:
Substituindo o valor calculado em Passo 3:
Passo 5
Verificação rápida e comentários:
- Ordem de grandeza faz sentido: um fio de seção próxima a
tem resistência da ordem de por quilômetro; 19 fios em paralelo reduzem a resistência cerca de 19 vezes. - Assunção: desprezamos efeitos de temperatura e de contato entre fios (o enunciado mandou desprezar o encordoamento), portanto usamos a simples regra de resistências em paralelo.
Resposta
Resistência de um fio:
Resistência do cabo (19 fios em paralelo):
Resistência do cabo (19 fios em paralelo):