Seja um cabo de 1000 metros de comprimento, constituído por 19 fios de cobre de seção transversal circular com 1,4 mm de diâmetro. Calcule as resistências a passagem de corrente contínua, de um fio e do cabo. Considere a temperatura de \mathbf{2 0}^{\boldsymbol{\circ}} \boldsymbol{C} em que para o cobre \rho=1,7 \times 10^{-8} \Omega \cdot m e despreze o encordoamento.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos as resistências, para corrente contínua, de:
  1. um fio de cobre de comprimento 1000\\ \mathrm{m} e seção circular de diâmetro 1,4\\ \mathrm{mm};
  2. o cabo formado por 19 desses fios (desprezando o encordoamento, ou seja, tratando-os como 19 condutores idênticos em paralelo).
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
L = 1000\\ \mathrm{m}
d = 1,4\\ \mathrm{mm}
\rho = 1,7\times 10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}\quad\text{(para cobre à temperatura de }20^\circ\mathrm{C}\text{)}à
Número de fios no cabo: n=19.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter unidades e calcular a área da seção transversal do fio (círculo). Explico a fórmula e cada variável:
  • Diâmetro em metros:
d = 1,4\\ \mathrm{mm} = 1,4\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Raio r é metade do diâmetro:
r = \frac{d}{2} = \frac{1,4\times 10^{-3}}{2}\\ \mathrm{m} = 0,7\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção transversal (fórmula do círculo): se A é a área e r o raio,
A = \pi r^{2}.
Agora calculamos r^{2} e A:
r^{2} = (0,7\times 10^{-3})^{2} = 0,49\times 10^{-6} = 4,9\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}^2,
A = \pi \times 4,9\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}^2 \approx 1,539\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
Comentário didático rápido: aqui convertemos milímetros para metros porque a resistividade \rho está em \Omega\cdot\mathrm{m}; as unidades devem coincidir para o resultado sair em ohms.

Passo 3

Agora a fórmula básica da resistência ôhmica para um condutor homogêneo e de comprimento L é:
R = \rho\,\frac{L}{A}.
Onde:
  • R é a resistência em \Omega,
  • \rho é a resistividade do material em \Omega\cdot\mathrm{m},
  • L é o comprimento em \mathrm{m},
  • A é a área da seção transversal em \mathrm{m}^2.
Substituindo os valores (mostrando todos os passos numéricos):
R_{\text{fio}} = \frac{1,7\times 10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}\times 1000\\ \mathrm{m}}{1,539\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2}.
Calculo intermediário do numerador:
1,7\times 10^{-8}\times 1000 = 1,7\times 10^{-5}.
Então
R_{\text{fio}} = \frac{1,7\times 10^{-5}}{1,539\times 10^{-6}}\\ \Omega.
Dividindo:
R_{\text{fio}} \approx 11,05\\ \Omega.
Explicação curta sobre as unidades: os \mathrm{m} do numerador e do denominador cancelam, sobrando apenas \Omega, como deve ser.

Passo 4

Agora vamos ao cabo com 19 fios idênticos. Quando temos resistores idênticos em paralelo, a resistência equivalente R_{\text{eq}} é a resistência de um fio dividida pelo número de fios. Demonstração curta: para n resistores de resistência R em paralelo,
\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{R} = \frac{n}{R}\quad\Rightarrow\quad R_{\text{eq}} = \frac{R}{n}.
Aplicando com n=19:
R_{\text{cabo}} = \frac{R_{\text{fio}}}{19}.
Substituindo o valor calculado em Passo 3:
R_{\text{cabo}} \approx \frac{11,05}{19}\\ \Omega \approx 0,581\\ \Omega.

Passo 5

Verificação rápida e comentários:
  • Ordem de grandeza faz sentido: um fio de seção próxima a 1{,}5\\ \mathrm{mm}^2 tem resistência da ordem de 10\\ \Omega por quilômetro; 19 fios em paralelo reduzem a resistência cerca de 19 vezes.
  • Assunção: desprezamos efeitos de temperatura e de contato entre fios (o enunciado mandou desprezar o encordoamento), portanto usamos a simples regra de resistências em paralelo.

Resposta

Resistência de um fio: 11,05\\ \Omega
Resistência do cabo (19 fios em paralelo): 0,581\\ \Omega

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