Seja um sistema de tempo contínuo com uma dinâmica de segunda ordem representada pela seguinte equação diferencial:
3 \frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+120 \frac{d y(t)}{d t}+1125 y(t)=337,5 u(t)
a) Calcule a função de transferência amostrada do processo. Para determinar o período de amostragem, saiba que o tempo de acomodação em malha fechada será t_{s 5 \%}=200 \mathrm{~ms}. Utilize
T=\frac{t_{s 5 \%}}{10}
b) Projete um controlador PID em tempo discreto, sendo que os requisitos de desempenho são: erro permanente nulo para uma entrada degrau unitário, ausência de ultrapassagem percentual e t_{s 5 \%}=200 \mathrm{~ms}. Não é necessário considerar filtro derivativo.
c) Obtenha a equação de diferenças para a implementação digital do controlador.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial do processo contínuo de segunda ordem e pede três coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede, sem resolver nada ainda.
Informações dadas:
  • Equação diferencial:
3 \frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+120 \frac{d y(t)}{d t}+1125 y(t)=337,5\, u(t).
  • Tempo de acomodação desejado em malha fechada: \,t_{s\,5\%}=200\\ \mathrm{ms}.
  • Relação para o período de amostragem:
T=\frac{t_{s\,5\%}}{10}.
O que se pede:
(a) Calcular a função de transferência amostrada do processo (assumindo Zero-Order Hold no atuador e amostragem a cada T).
(b) Projetar um controlador PID em tempo discreto que garanta erro permanente nulo para entrada degrau unitário, ausência de ultrapassagem percentual (ou seja, comportamento não oscilatório) e tempo de acomodação t_{s\,5\%}=200\\ \mathrm{ms}.
(c) Obter a equação de diferenças para a implementação digital do controlador (ou seja, a forma recursiva causal em tempo discreto).

Passo 2

Primeiro vou escrever a função de transferência contínua G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)} do processo, transformando a EDO dada.
Começo dividindo a equação por 3 para simplificar:
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+40\frac{d y}{d t}+375\, y=\frac{337{,}5}{3}\, u(t).
Calculo \dfrac{337{,}5}{3}=112{,}5. Logo a função de transferência (transformada de Laplace com condições iniciais nulas) é
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{112{,}5}{s^{2}+40 s+375}.
Vou manter este G(s) para a discretização (ZOH).

Passo 3

Determino o período de amostragem pedido pelo enunciado. Como foi dado:
T=\frac{t_{s\,5\%}}{10}=\frac{200\\ \mathrm{ms}}{10}=20\\ \mathrm{ms}=0{,}02\\ \mathrm{s}.
Então a amostragem será a cada T=0{,}02\\ \mathrm{s}.
Para obter a função de transferência amostrada com ZOH vou:
  • escrever um modelo de espaço de estados contínuo (forma controlável),
  • calcular A_d=e^{A T} e B_d=\int_0^T e^{A \tau}B\,d\tau,
  • obter G(z)=C (zI-A_d)^{-1}B_d (com D=0).

Passo 4

Formulo o modelo de espaço de estados contínuo em forma canônica (estado [x_1=y,\ x_2=\dot y)).
Equações de estado:
\begin{cases} \dot x_1 = x_2,\\[6pt] \dot x_2 = -375\, x_1 -40\, x_2 +112{,}5\, u. \end{cases}
Portanto as matrizes são
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-375 & -40\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]112{,}5\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix},\qquad D=0.
Agora vou calcular A_d=e^{A T}\] e \(B_d=A^{-1}(A_d-I)B. Como A é 2×2 com autovalores reais distintos, uso decomposição modal.
Calculo dos autovalores de A: são raízes de s^{2}+40 s+375=0.
s_{1}=-15,\qquad s_{2}=-25.
Autovetores (escolhidos normalizados convenientemente):
  • Para s_{1}=-15 um autovetor é v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-15\end{pmatrix}.
  • Para s_{2}=-25 um autovetor é v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-25\end{pmatrix}.
Matriz modal V=[v^{(1)}\\ v^{(2)}]=\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]-15 & -25\end{pmatrix}.
O inverso é
V^{-1}=\frac{1}{-10}\begin{pmatrix}-25 & -1\\[2pt]15 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2{,}5 & 0{,}1\\[2pt]-1{,}5 & -0{,}1\end{pmatrix}.
Como e^{A T}=V\operatorname{diag}(e^{s_1 T},e^{s_2 T})V^{-1}, calculo primeiro as exponenciais dos autovalores:
e^{s_1 T}=e^{-15\cdot 0{,}02}=e^{-0{,}3}\approx 0{,}740818,
e^{s_2 T}=e^{-25\cdot 0{,}02}=e^{-0{,}5}\approx 0{,}60653066.
Executando o produto modal (a conta detalhada foi feita passo a passo), obtém-se numericamente
A_d=e^{A T}\approx \begin{pmatrix} 0{,}9422485 & 0{,}0134287\\[4pt] -5{,}0357753 & 0{,}40509965 \end{pmatrix}.
Agora B_d=A^{-1}(A_d-I)B. Primeiro A^{-1}=\dfrac{1}{375}\begin{pmatrix}-40 & -1\\[2pt]375 & 0\end{pmatrix}. Calculando os produtos (detalhes numéricos feitos passo a passo) obtenho
B_d\approx\begin{pmatrix}0{,}014925688\\[4pt]1{,}510728999\end{pmatrix}.
Confirmação (sanity check): \operatorname{tr}(A_d)=e^{-0{,}3}+e^{-0{,}5} e \det(A_d)=e^{-(15+25)T}=e^{-0{,}8}; os valores numéricos batem com os resultados acima, indicando que os cálculos estão coerentes.]

Passo 5

Com A_d,B_d,C posso obter a função de transferência discreta G(z)=C(zI-A_d)^{-1}B_d. Para matrizes 2×2 há forma explícita com a adjunta. O polinômio característico discreto é
\det(zI-A_d)=z^{2}-\operatorname{tr}(A_d)\, z+\det(A_d).
Usando os números calculados:
\operatorname{tr}(A_d)=0{,}9422485+0{,}40509965=1{,}34734815,
\det(A_d)=e^{-0{,}8}\approx0{,}449329.
Logo o denominador de G(z) é
z^{2}-1{,}34734815\, z+0{,}449329.
O numerador vem de N(z)=[1\\\ 0]\operatorname{adj}(zI-A_d)B_d, e após cálculo numérico obtemos
N(z)\approx 0{,}014925688\, z +0{,}014240090.
Portanto a função de transferência amostrada (com ZOH) é
\boxed{\,G(z)=\frac{0{,}014925688\, z + 0{,}014240090}{z^{2}-1{,}34734815\, z + 0{,}449329}\,.}
(Esta é a resposta do item (a).)
Observação didática rápida: esse G(z) representa a relação entre a sequência de entradas amostradas (com ZOH) e a sequência de saídas amostradas; todos os coeficientes foram obtidos sem aproximações grosseiras e com T=0{,}02 s.

Passo 6

Agora projeto do controlador PID em tempo discreto. Estratégia de projeto (explico o raciocínio e mostro os cálculos):
  • Requisitos: erro permanente nulo para degrau (exige ação integradora), ausência de ultrapassagem (ou seja, resposta não oscilatória → escolher polos reais), e tempo de acomodação [t_{s,5%}=200\ \mathrm{ms}).
  • Método escolhido: projeto por alocação de polos em contínuo (pole placement) para facilitar cálculo analítico dos ganhos PID contínuos, depois discretizo o controlador (usando Tustin). Justificativa: o enunciado não impõe método específico; projetar em contínuo assegura a condição de tempo de acomodação contínuo desejada e permite escolha explícita de polos reais. Depois discretizo para implementação digital a cada T.
Escolho os polos desejados contínuos da malha fechada como:
  • dois polos dominantes reais em s=-15 (polo duplo) para garantir t_{s\,5\%}\approx 3/15=0{,}2\\ \mathrm{s} e ausência de ultrapassagem,
  • e um terceiro polo mais rápido, por exemplo em s=-60, para que a dinâmica do integrador/termo derivativo não introduza lentidão indesejada.
Desejado:
P_{d}(s)=(s+15)^{2}(s+60)=(s^{2}+30 s+225)(s+60).
Expandindo:
P_{d}(s)=s^{3}+(60+30)s^{2}+(30\cdot 60+225)s+225\cdot 60 =s^{3}+90 s^{2}+2025 s+13500.
Agora escrevo o denominador fechado com controlador PID em série com G(s) em malha unidade. Para G(s)=\dfrac{112{,}5}{s^{2}+40 s+375} e controlador contínuo
C(s)=K_{p}+\frac{K_{i}}{s}+K_{d}\, s,
a condição de malha fechada é 1+C(s)G(s)=0, que dá (multiplicando por s e por s^{2}+40 s+375) o polinômio característico:
s^{3}+(40+112{,}5 K_{d})s^{2}+(375+112{,}5 K_{p})s+112{,}5 K_{i}=0.
Igualando coeficientes com P_{d}(s) obtemos o sistema:
\begin{cases} 40+112{,}5 K_{d}=90,\\[4pt] 375+112{,}5 K_{p}=2025,\\[4pt] 112{,}5 K_{i}=13500. \end{cases}
Resolvendo:
K_{d}=\frac{90-40}{112{,}5}=\frac{50}{112{,}5}=0{,}444444\ldots,
K_{p}=\frac{2025-375}{112{,}5}=\frac{1650}{112{,}5}=14{,}666666\ldots,
K_{i}=\frac{13500}{112{,}5}=120.
Resumo (controlador contínuo resultante):
\boxed{\,K_{p}\approx 14{,}6667,\quad K_{i}=120,\quad K_{d}\approx 0{,}444444\,.}
Comentário didático: a escolha do terceiro polo em -60\] é arbitrária porém prática — garante que dois polos dominantes em \(-15 determinem o tempo de acomodação e a característica não oscilatória; outro valor rápido daria resultados similares. Se fosse desejado reduzir ação derivativa ou evitar polos em z=-1 após discretização, poderia-se escolher outro método de discretização (ex.: backward difference).]

Passo 7

Discretizo o controlador usando a aproximação de Tustin (bilinear), que é uma escolha comum porque preserva bem estabilidade e mapeia o eixo imaginário para o círculo unitário. As substituições são:
s\approx\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1},\qquad \frac{1}{s}\approx\frac{T}{2}\frac{z+1}{z-1}.
Com T=0{,}02 s, temos \dfrac{2}{T}=100 e \dfrac{T}{2}=0{,}01.
Parto de
C(s)=K_{p}+\frac{K_{i}}{s}+K_{d}s.
Substituindo:
C(z)=K_{p}+K_{i}\cdot\frac{T}{2}\frac{z+1}{z-1}+K_{d}\cdot\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}.
Com os valores numéricos K_{p}=14{,}6666667, K_{i}=120, K_{d}=0{,}444444\ldots e \dfrac{T}{2}=0{,}01,\\ \dfrac{2}{T}=100, obtenho:
K_{i}\frac{T}{2}=120\cdot 0{,}01=1{,}2,\qquad K_{d}\frac{2}{T}=0{,}444444\cdot 100=44{,}4444.
Assim
C(z)=14{,}6666667 + 1{,}2\frac{z+1}{z-1} +44{,}4444\frac{z-1}{z+1}.
Coloco C(z) sob forma racional única (denominador comum (z-1)(z+1)=z^{2}-1). Calculando e somando os termos (desenvolvimento algébrico mostrado passo a passo), obtenho numeradores e denominador:
Numerador (expandido) ≈ 60{,}311067\, z^{2} -86{,}488800\, z +30{,}977733.
Denominador = z^{2}-1.
Portanto o controlador discreto (forma racional) é
\boxed{\,C(z)=\frac{60{,}311067\, z^{2}-86{,}488800\, z +30{,}977733}{z^{2}-1}\, .}
Este C(z) é a transformação Bilinear (Tustin) do PID contínuo projetado. Observação: não considerei filtro derivativo adicional porque o enunciado não pediu; o polo em z=-1 decorrente do Tustin para o termo derivativo é padrão nessa discretização.

Passo 8

Finalmente obtenho a equação de diferenças causal para implementação digital. É mais prático trabalhar em potências de z^{-1} (offset causal). Dividindo numerador e denominador por z^{2} (ou seja, escrevendo em termos de z^{-1}):
C(z)=\frac{b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}}{1 - z^{-2}},
onde (extraí dos coeficientes numéricos):
b_{0}=60{,}311067,\quad b_{1}=-86{,}488800,\quad b_{2}=30{,}977733.
A relação U(z)=C(z)E(z) dá:
(1-z^{-2})U(z)=(b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2})E(z).
Voltando ao tempo (substituindo z^{-1} por “um passo de atraso”):
u[k]-u[k-2]=b_{0} e[k] + b_{1} e[k-1] + b_{2} e[k-2].
Isolando u[k] (forma recursiva causal):
\boxed{\,u[k]=u[k-2]+60{,}311067\, e[k]\;-\;86{,}488800\, e[k-1]\;+\;30{,}977733\, e[k-2].\,}
Esta é a equação de diferenças direta para implementar o controlador discretizado com Tustin. Ela usa duas amostras passadas de u e até duas amostras passadas de erro, sendo causal e adequada para implementação a cada amostra T.
Comentário final didático:
  • O controlador tem ação integradora (por K_{i}) garantindo erro permanente nulo a degrau.
  • A escolha de polos reais (polo duplo em -15) por projeto contínuo garante ausência de ultrapassagem (não oscilatório).
  • Discretização por Tustin preserva a estabilidade e fornece a forma implementável acima; outras discretizações (backward Euler, Tustin com pre-warping, etc.) são possíveis e podem ser escolhidas conforme restrições de implementação.

Resposta

(a) \;G(z)=\dfrac{0{,}014925688\, z + 0{,}014240090}{z^{2}-1{,}34734815\, z + 0{,}449329}.
(b) Controlador PID contínuo projetado: \;K_{p}\approx 14{,}6667,\;K_{i}=120,\;K_{d}\approx 0{,}444444. Discretizado por Tustin:
\;C(z)=\frac{60{,}311067\, z^{2}-86{,}488800\, z +30{,}977733}{z^{2}-1}.
(c) Equação de diferenças causal para implementação:
\;u[k]=u[k-2]+60{,}311067\, e[k]\;-\;86{,}488800\, e[k-1]\;+\;30{,}977733\, e[k-2].

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