a) Calcule a função de transferência amostrada do processo. Para determinar o período de amostragem, saiba que o tempo de acomodação em malha fechada será t_{s 5 \%}=200 \mathrm{~ms}. Utilize
T=\frac{t_{s 5 \%}}{10}
b) Projete um controlador PID em tempo discreto, sendo que os requisitos de desempenho são: erro permanente nulo para uma entrada degrau unitário, ausência de ultrapassagem percentual e t_{s 5 \%}=200 \mathrm{~ms}. Não é necessário considerar filtro derivativo.
c) Obtenha a equação de diferenças para a implementação digital do controlador.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial do processo contínuo de segunda ordem e pede três coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede, sem resolver nada ainda.
Tempo de acomodação desejado em malha fechada: \,t_{s\,5\%}=200\\ \mathrm{ms}.
Relação para o período de amostragem:
T=\frac{t_{s\,5\%}}{10}.
O que se pede:
(a) Calcular a função de transferência amostrada do processo (assumindo Zero-Order Hold no atuador e amostragem a cada T).
(b) Projetar um controlador PID em tempo discreto que garanta erro permanente nulo para entrada degrau unitário, ausência de ultrapassagem percentual (ou seja, comportamento não oscilatório) e tempo de acomodação t_{s\,5\%}=200\\ \mathrm{ms}.
(c) Obter a equação de diferenças para a implementação digital do controlador (ou seja, a forma recursiva causal em tempo discreto).
Passo 2
Primeiro vou escrever a função de transferência contínua G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)} do processo, transformando a EDO dada.
Começo dividindo a equação por 3 para simplificar:
Confirmação (sanity check): \operatorname{tr}(A_d)=e^{-0{,}3}+e^{-0{,}5} e \det(A_d)=e^{-(15+25)T}=e^{-0{,}8}; os valores numéricos batem com os resultados acima, indicando que os cálculos estão coerentes.]
Passo 5
Com A_d,B_d,C posso obter a função de transferência discreta G(z)=C(zI-A_d)^{-1}B_d. Para matrizes 2×2 há forma explícita com a adjunta. O polinômio característico discreto é
O numerador vem de N(z)=[1\\\ 0]\operatorname{adj}(zI-A_d)B_d, e após cálculo numérico obtemos
N(z)\approx 0{,}014925688\, z +0{,}014240090.
Portanto a função de transferência amostrada (com ZOH) é
\boxed{\,G(z)=\frac{0{,}014925688\, z + 0{,}014240090}{z^{2}-1{,}34734815\, z + 0{,}449329}\,.}
(Esta é a resposta do item (a).)
Observação didática rápida: esse G(z) representa a relação entre a sequência de entradas amostradas (com ZOH) e a sequência de saídas amostradas; todos os coeficientes foram obtidos sem aproximações grosseiras e com T=0{,}02 s.
Passo 6
Agora projeto do controlador PID em tempo discreto. Estratégia de projeto (explico o raciocínio e mostro os cálculos):
Requisitos: erro permanente nulo para degrau (exige ação integradora), ausência de ultrapassagem (ou seja, resposta não oscilatória → escolher polos reais), e tempo de acomodação [t_{s,5%}=200\ \mathrm{ms}).
Método escolhido: projeto por alocação de polos em contínuo (pole placement) para facilitar cálculo analítico dos ganhos PID contínuos, depois discretizo o controlador (usando Tustin). Justificativa: o enunciado não impõe método específico; projetar em contínuo assegura a condição de tempo de acomodação contínuo desejada e permite escolha explícita de polos reais. Depois discretizo para implementação digital a cada T.
Escolho os polos desejados contínuos da malha fechada como:
dois polos dominantes reais em s=-15 (polo duplo) para garantir t_{s\,5\%}\approx 3/15=0{,}2\\ \mathrm{s} e ausência de ultrapassagem,
e um terceiro polo mais rápido, por exemplo em s=-60, para que a dinâmica do integrador/termo derivativo não introduza lentidão indesejada.
Agora escrevo o denominador fechado com controlador PID em série com G(s) em malha unidade. Para G(s)=\dfrac{112{,}5}{s^{2}+40 s+375} e controlador contínuo
C(s)=K_{p}+\frac{K_{i}}{s}+K_{d}\, s,
a condição de malha fechada é 1+C(s)G(s)=0, que dá (multiplicando por s e por s^{2}+40 s+375) o polinômio característico:
Comentário didático: a escolha do terceiro polo em -60\] é arbitrária porém prática — garante que dois polos dominantes em \(-15 determinem o tempo de acomodação e a característica não oscilatória; outro valor rápido daria resultados similares. Se fosse desejado reduzir ação derivativa ou evitar polos em z=-1 após discretização, poderia-se escolher outro método de discretização (ex.: backward difference).]
Passo 7
Discretizo o controlador usando a aproximação de Tustin (bilinear), que é uma escolha comum porque preserva bem estabilidade e mapeia o eixo imaginário para o círculo unitário. As substituições são:
Coloco C(z) sob forma racional única (denominador comum (z-1)(z+1)=z^{2}-1). Calculando e somando os termos (desenvolvimento algébrico mostrado passo a passo), obtenho numeradores e denominador:
Numerador (expandido) ≈ 60{,}311067\, z^{2} -86{,}488800\, z +30{,}977733.
Denominador = z^{2}-1.
Portanto o controlador discreto (forma racional) é
\boxed{\,C(z)=\frac{60{,}311067\, z^{2}-86{,}488800\, z +30{,}977733}{z^{2}-1}\, .}
Este C(z) é a transformação Bilinear (Tustin) do PID contínuo projetado. Observação: não considerei filtro derivativo adicional porque o enunciado não pediu; o polo em z=-1 decorrente do Tustin para o termo derivativo é padrão nessa discretização.
Passo 8
Finalmente obtenho a equação de diferenças causal para implementação digital. É mais prático trabalhar em potências de z^{-1} (offset causal). Dividindo numerador e denominador por z^{2} (ou seja, escrevendo em termos de z^{-1}):
Esta é a equação de diferenças direta para implementar o controlador discretizado com Tustin. Ela usa duas amostras passadas de u e até duas amostras passadas de erro, sendo causal e adequada para implementação a cada amostra T.
Comentário final didático:
O controlador tem ação integradora (por K_{i}) garantindo erro permanente nulo a degrau.
A escolha de polos reais (polo duplo em -15) por projeto contínuo garante ausência de ultrapassagem (não oscilatório).
Discretização por Tustin preserva a estabilidade e fornece a forma implementável acima; outras discretizações (backward Euler, Tustin com pre-warping, etc.) são possíveis e podem ser escolhidas conforme restrições de implementação.
Resposta
(a) \;G(z)=\dfrac{0{,}014925688\, z + 0{,}014240090}{z^{2}-1{,}34734815\, z + 0{,}449329}.