Sejam a, b, c constantes complexas. Use a definição de limites (2) da Seção 15 para provar que
\lim _{z \rightarrow z_{0}}\left(z^{2}+c\right)=z_{0}^{2}+c;

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição ε–δ de limite para funções de variável complexa, que
\lim_{z\to z_{0}}\bigl(z^{2}+c\bigr)=z_{0}^{2}+c.
Recall a definição: dizemos que \lim_{z\to z_{0}}f(z)=L se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|z-z_{0}|<\delta, então |f(z)-L|<\varepsilon. Aqui f(z)=z^{2}+c e L=z_{0}^{2}+c.

Passo 2

Calculemos a diferença entre f(z) e o candidato ao limite:
f(z)-L = \bigl(z^{2}+c\bigr)-\bigl(z_{0}^{2}+c\bigr) = z^{2}-z_{0}^{2} = (z-z_{0})(z+z_{0}).
Logo,
|f(z)-L| = |z-z_{0}|\;|z+z_{0}|.

Passo 3

Para controlar o fator |z+z_{0}|, impomos que |z-z_{0}|<1. Então
|z| \le |z_{0}| + |z-z_{0}| < |z_{0}|+1 \quad\Longrightarrow\quad |z+z_{0}|\le |z|+|z_{0}| < 2|z_{0}|+1.
Defina
M = 2|z_{0}|+1,
de modo que, sempre que |z-z_{0}|<1, temos |z+z_{0}|<M.

Passo 4

Combinando os resultados,
|f(z)-L| = |z-z_{0}|\;|z+z_{0}| < M\,|z-z_{0}|.
Dado \varepsilon>0, escolha
\delta = \min\bigl(1,\;\varepsilon/M\bigr).
Então, se 0<|z-z_{0}|<\delta, segue que |z-z_{0}|<1 e
|f(z)-L| < M\,|z-z_{0}| < M\cdot\frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon.
Isso satisfaz a definição de limite.

Resposta

\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}\bigl(z^{2}+c\bigr)=z_{0}^{2}+c.

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