Sejam n um inteiro positivo e P(z) e Q(z) polinômios, sendo Q\left(z_{0}\right) \neq 0. Use o Teorema 2 da Seção 16, bem como os limites que aparecem naquela seção, para obter
\lim _{z \rightarrow i} \frac{i z^{3}-1}{z+i};

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{z\to i}\frac{i z^{3}-1}{z+i}.
O conteúdo é limites de funções racionais formadas por polinômios, e vamos usar o Teorema 2 da Seção 16, que afirma que, se P e Q são polinômios e \lim_{z\to z_{0}}Q(z)\neq0, então
\lim_{z\to z_{0}}\frac{P(z)}{Q(z)} = \frac{\lim_{z\to z_{0}}P(z)}{\lim_{z\to z_{0}}Q(z)}.

Passo 2

Como i z^{3}-1 é polinômio em z, ele é contínuo. Logo
\lim_{z\to i}\bigl(i z^{3}-1\bigr) = i\bigl(\lim_{z\to i}z\bigr)^{3}-1 = i\,(i)^{3}-1 = i\cdot(-i)-1 =1-1 =0.

Passo 3

O denominador z+i também é polinômio contínuo, e
\lim_{z\to i}(z+i) = i+i =2i\neq0.

Passo 4

Pelo Teorema 2, como o limite do denominador é não nulo, podemos dividir os limites:
\lim_{z\to i}\frac{i z^{3}-1}{z+i} = \frac{0}{2i} =0.

Resposta

0

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