Sejam n um inteiro positivo e P(z) e Q(z) polinômios, sendo Q\left(z_{0}\right) \neq 0. Use o Teorema 2 da Seção 16, bem como os limites que aparecem naquela seção, para obter
\lim _{z \rightarrow z_{0}} \frac{P(z)}{Q(z)}.

Passo 1

O enunciado diz que P(z) e Q(z) são polinômios, n é inteiro positivo, e Q(z_0)\neq0. Queremos calcular
\displaystyle \lim_{z\to z_0}\frac{P(z)}{Q(z)}.
Vamos usar o Teorema 2 da Seção 16 (operações com limites) e os limites básicos para monômios.

Passo 2

Escrevendo os polinômios em termos de monômios, temos
P(z)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}\,z^{k}, \quad Q(z)=\sum_{k=0}^{m}b_{k}\,z^{k}.
Daquela seção sabemos que para todo k
\displaystyle \lim_{z\to z_{0}}z^{k}=z_{0}^{k}.

Passo 3

Pelo Teorema 2, que permite trocar soma e limite e produto e limite, obtemos
\lim_{z\to z_{0}}P(z) =\lim_{z\to z_{0}}\sum_{k=0}^{n}a_{k}\,z^{k} =\sum_{k=0}^{n}a_{k}\,\lim_{z\to z_{0}}z^{k} =\sum_{k=0}^{n}a_{k}\,z_{0}^{k} = P(z_{0}).
De forma análoga,
\lim_{z\to z_{0}}Q(z)=Q(z_{0}).

Passo 4

Como \lim_{z\to z_{0}}Q(z)=Q(z_{0})\neq0, aplicamos o teorema do quociente de limites e concluímos
\lim_{z\to z_{0}}\frac{P(z)}{Q(z)} =\frac{\lim\limits_{z\to z_{0}}P(z)}{\lim\limits_{z\to z_{0}}Q(z)} =\frac{P(z_{0})}{Q(z_{0})}.

Resposta

\displaystyle \frac{P(z_{0})}{Q(z_{0})}