Ar será bombeado por um compressor a vazão de 2,5 \mathrm{~mol} / \mathrm{s}. O ar na sucção encontra-se a 1 bar e 290 K e, deverá estar a 10 bar na descarga. Considerando que este processo se realiza rapidamente e que o ar pode ser tratado como gás ideal com \mathrm{C}_{p}=29,3 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}, determine:
a) A temperatura do ar na descarga se o compressor for reversível;
b) A potência consumida pelo compressor no caso do item “a”;
c) A entropia gerada para o processo se a temperatura de saída for 575 K ;
d) A potência consumida pelo compressor no caso do item “c”;
e) A temperatura do ar de descarga é, no caso “c”, maior do que no caso “a”. Como você explica este fato?

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a compressão de ar tratada como gás ideal. Vou listar o que temos e o que é pedido (pego todos os dados do enunciado):
  • Dados fornecidos:
    • Vazão molar: \dot{n}=2{,}5\\ \mathrm{mol/s}.
    • Estado na sucção (1): P_1=1\\ \mathrm{bar}, T_1=290\\ \mathrm{K}.
    • Estado na descarga (2): P_2=10\\ \mathrm{bar}.
    • Calor específico a pressão constante (molar): C_p=29{,}3\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
    • Constante universal dos gases (molar): R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} (valor padrão, usado aqui).
  • Pressupostos implícitos (do enunciado):
    • Ar = gás ideal com C_p constante.
    • Processo “se realiza rapidamente” — aqui vamos tomar como compressão adiabática (sem troca de calor) para as partes a–d; no item (a) é ainda especificado “reversível” (portanto adiabático e reversível = isentrópico).
    • Desprezamos variações de energia cinética e potencial.
  • O que é pedido:
    (a) Temperatura de descarga \,T_{2,\text{rev}} se o compressor for reversível (isto é, isentrópico).
    (b) Potência consumida pelo compressor no caso (a).
    (c) Entropia gerada (taxa) se a temperatura de saída real for T_2=575\\ \mathrm{K}.
    (d) Potência consumida pelo compressor no caso (c) (com T_2=575\\ \mathrm{K}).
    (e) Explicação por que a temperatura de descarga no caso (c) é maior que no caso (a).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicações e significado das variáveis):
  • Relação isentrópica para gás ideal com C_p e C_v constantes:
    \frac{T_{2s}}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}
    onde T_{2s} é a temperatura de saída em compressão reversível (isentrópica), k=\dfrac{C_p}{C_v} é a razão dos calores molares, e C_v=C_p-R. Explicação: para um gás ideal, processo adiabático reversível implica s= constante; manipulando as relações termodinâmicas chega-se a essa expressão que liga temperaturas e pressões.
  • Primeiro princípio (balanço de energia) para escoamento estacionário, sem troca de calor e sem variação de energia cinética/potencial:
    \dot{W}=\dot{n}\,\Delta h=\dot{n}\,C_p\,(T_2-T_1),
    onde \dot{W} é a potência elétrica/mecânica consumida (taxa de trabalho fornecido ao fluido), \Delta h=h_2-h_1 é a variação de entalpia molar e C_p é molar.
  • Variação de entropia molar entre dois estados de um gás ideal (para usar no cálculo da entropia gerada):
    \Delta s = s_2-s_1 = C_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
    Explicação: fórmula padrão para gás ideal com capacidades constantes. Se não há transferência de entropia por calor (adiabático), a geração de entropia por segundo é \dot{S}_{\text{gen}}=\dot{n}\,\Delta s (se o processo é adiabático e o regime é estacionário).
Vou calcular primeiro C_v e k porque aparecem na relação isentrópica.

Passo 3

Cálculo de C_v e k:
  • C_v = C_p - R. Portanto C_v = 29{,}3 - 8{,}314 = 20{,}986\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • k=\dfrac{C_p}{C_v}. Logo k=\frac{29{,}3}{20{,}986}\approx 1{,}3968.
Explanação curta: C_p é calor molar a pressão constante; C_v é calor molar a volume constante. A relação C_p-C_v=R vale para gases ideais; k mede quão “diferença” entre Cp e Cv e aparece em processos adiabáticos.

Passo 4

(a) Temperatura de descarga no caso reversível (isentrópico).
Usamos a relação isentrópica:
\frac{T_{2s}}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}.
Substituindo os valores:
\frac{T_{2s}}{290}=\left(\frac{10}{1}\right)^{\frac{1{,}3968-1}{1{,}3968}}=\;10^{\frac{0{,}3968}{1{,}3968}}=10^{0{,}28409\ldots}.
Calculemos:
10^{0{,}28409}\approx 1{,}9237\quad\Rightarrow\quad T_{2s}=290\times1{,}9237\approx 558{,}0\\ \mathrm{K}.
Explicação rápida: esse é o aquecimento do gás apenas devido à compressão reversível adiabática; é o caso de menor trabalho necessário para comprimir ao mesmo aumento de pressão.

Passo 5

(b) Potência consumida pelo compressor no caso (a) (reversível/isentrópico).
Usamos \dot{W}=\dot{n}\,C_p\,(T_{2s}-T_1).
Substituindo:
T_{2s}\approx 558{,}0\\ \mathrm{K},\quad T_1=290\\ \mathrm{K},
\Delta T = T_{2s}-T_1 \approx 268{,}0\\ \mathrm{K}.
Portanto
\dot{W} = 2{,}5\cdot29{,}3\cdot268{,}0 \\ \mathrm{J/s}.
Calcule:
\dot{W}\approx 2{,}5\times7852{,}4\approx 19631\\ \mathrm{W}\approx 19{,}63\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: esse é o trabalho mínimo (para processo adiabático) requerido para elevar P de 1 bar a 10 bar partindo de 290 K de forma reversível.

Passo 6

(c) Entropia gerada quando a saída real tem T_2=575\\ \mathrm{K}.
Primeiro calculo a variação molar de entropia entre 1 e 2 usando a fórmula para gás ideal:
\Delta s = C_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Substituindo T_2=575\\ \mathrm{K}, T_1=290\\ \mathrm{K}, P_2/P_1=10:
\ln\!\left(\frac{575}{290}\right)=\ln(1{,}9827586\ldots)\approx 0{,}68683,
C_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=29{,}3\times0{,}68683\approx20{,}121\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=8{,}314\times\ln(10)\approx8{,}314\times2{,}302585\approx19{,}147\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Logo
\Delta s \approx 20{,}121-19{,}147=0{,}974\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Como o processo é adiabático (pressuposto), a entropia gerada por segundo é
\dot{S}_{\text{gen}}=\dot{n}\,\Delta s=2{,}5\times0{,}974\approx2{,}435\\ \mathrm{W/K}.
Interpretação: \dot{S}_{\text{gen}}>0 indica irreversibilidade. Em outras palavras, parte do trabalho é dissipada internamente e produz aumento de entropia.

Passo 7

(d) Potência consumida pelo compressor no caso (c), com T_2=575\\ \mathrm{K}.
Usamos novamente \dot{W}=\dot{n}\,C_p\,(T_2-T_1).
Aqui \Delta T = 575-290=285\\ \mathrm{K}. Então
\dot{W}=2{,}5\times29{,}3\times285.
Cálculo:
\dot{W}\approx 2{,}5\times8340{,}5\approx 20851\\ \mathrm{W}\approx20{,}85\\ \mathrm{kW}.
Observação: é maior que a potência do caso isentrópico (19,63 kW), mostrando que compressão irreversível exige mais trabalho para chegar à mesma pressão (a energia extra aparece como aquecimento interno, elevando T_2).

Passo 8

(e) Por que T_2 no caso (c) é maior do que no caso (a)?
Explicação clara e derivação curta:
  • Em (a) o processo é reversível e adiabático (isentrópico), logo não há geração de entropia e o aumento de temperatura resulta somente do trabalho convertido em entalpia de forma ideal — esse é o caso de menor aquecimento para dado aumento de pressão.
  • Em (c) existe irreversibilidade (por isso \dot{S}_{\text{gen}}>0). Para o mesmo P_2/P_1 temos, usando a expressão da variação de entropia, C_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)+\Delta s.Como \Delta s>0 em um processo irreversível, o membro à esquerda (que envolve \ln(T_2/T_1)) tem que ser maior do que no caso reversível, portanto T_2 tem de ser maior que T_{2s}.
  • Física intuitiva: irreversibilidades (atritos, turbulência, dissipação interna) convertem parte do trabalho fornecido em energia interna que não pode ser entregue como trabalho útil e, portanto, aquece ainda mais o fluido. Logo para alcançar a mesma pressão final, a temperatura de descarga fica maior e o trabalho requerido também é maior.

Resposta

(a) T_{2,\text{rev}}\approx 558{,}0\\ \mathrm{K}.
(b) \dot{W}_{\text{rev}}\approx 19{,}63\\ \mathrm{kW}.
(c) \dot{S}_{\text{gen}}\approx 2{,}435\\ \mathrm{W/K}.
(d) \dot{W}_{\text{real}}\approx 20{,}85\\ \mathrm{kW}.
(e) A temperatura no caso (c) é maior porque há geração de entropia (irreversibilidades): isso exige trabalho adicional que é dissipado internamente, elevando a temperatura final acima da temperatura isentrópica.

Exercícios relacionados