Qual seria a temperatura esperada para a superfície da Terra caso a pseudo-emissividade terrestre fosse reduzida para 0,40 ; Considere que o albedo permaneça constante.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura esperada para a superfície da Terra se a pseudo-emissividade terrestre for reduzida para \varepsilon=0,40, assumindo que o albedo permaneça constante. Informações e suposições tomadas (não foi fornecido valor explícito, então uso valores padrão):
  • Emissividade: \varepsilon=0,40 (dado do enunciado).
  • Albedo da Terra: A=0,30 (valor típico global, assumido constante).
  • Constante solar (fluxo no topo da atmosfera): S_0=1361\\ \mathrm{W\!/\!m^{2}} (valor padrão moderno).
  • Constante de Stefan–Boltzmann: \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\!/\!m^{2}\!K^{4}}.
O que se pede: calcular a temperatura de equilíbrio radiativo superficial T resultante da condição acima.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • A Terra, em equilíbrio radiativo simples, recebe do Sol uma potência média por unidade de área dada por (1-A)S_0/4. Explicando: S_0 é a potência por unidade de área perpendicular à radiação; o fator 1-A desconta a fração refletida (albedo); o fator 1/4 vem de espalhar essa potência sobre a esfera (área de disco \pi R^2 versus área da esfera 4\pi R^2).
  • A Terra emite radiação térmica aproximadamente segundo a lei de Stefan–Boltzmann modificada pela emissividade \varepsilon: a potência emitida por unidade de área é \varepsilon \sigma T^4, onde T é a temperatura absoluta (em kelvin).
  • Em equilíbrio: a potência recebida média iguala a potência emitida média. Assim a equação de balanço é
(1-A)\frac{S_0}{4}=\varepsilon\,\sigma\,T^4.
Aqui:
  • (1-A)\frac{S_0}{4} é a irradiância média absorvida ( \mathrm{W\!/\!m^{2}}),
  • \varepsilon é a pseudo-emissividade (adimensional),
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann,
  • T é a temperatura de equilíbrio que queremos encontrar.

Passo 3

Isolar T na equação e escrever a fórmula para cálculo:
T=\left(\dfrac{(1-A)S_0}{4\varepsilon\sigma}\right)^{1/4}.
Agora substituímos os valores assumidos passo a passo.
Calcular primeiro a irradiância média absorvida:
(1-A)\frac{S_0}{4}=(1-0,30)\frac{1361}{4}=0,70\cdot\frac{1361}{4}.
Calculemos:
0,70\cdot 1361=952{,}7
\frac{952{,}7}{4}=238{,}175\\ \mathrm{W\!/\!m^{2}}.

Passo 4

Calcular T resolvendo para T^4 e extraindo a raiz quarta:
T^4=\dfrac{238{,}175}{\varepsilon\,\sigma}=\dfrac{238{,}175}{0,40\cdot 5{,}670374419\times10^{-8}}.
Calcule o denominador:
0,40\cdot 5{,}670374419\times10^{-8}=2{,}2681497676\times10^{-8}.
Agora divida:
T^4=\dfrac{238{,}175}{2{,}2681497676\times10^{-8}}\approx 1{,}05035\times10^{10}.
Extrair a raiz quarta (duas raízes quadradas sucessivas) dá:
T\approx(1{,}05035\times10^{10})^{1/4}\approx 320{,}1\\ \mathrm{K}.
Converter para graus Celsius:
T_{\mathrm{C}}=T-273{,}15\approx 320{,}1-273{,}15\approx 46{,}95\\ ^\circ\mathrm{C}\approx 47{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Interpretação física e limitações (para saber como usar isso numa prova):
  • Resultado: com \varepsilon=0,40 e A=0,30 constante, o modelo de balanço radiativo simples prevê T\approx 320{,}1\\ \mathrm{K} ( \approx 47{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}).
  • Por que sobe tanto? Diminuir a emissividade significa que o planeta emite menos radiação por grau de temperatura; para restaurar o equilíbrio entre o que entra e o que sai é preciso aumentar T, pois a emissão térmica cresce com T^4.
  • Limitações importantes do modelo: é um modelo de caixa única (temperatura única representativa), não distingue troposfera/estratosfera, não trata explicitamente efeito estufa por camadas, nem transporte convectivo, nem variações de emissividade dependentes de comprimento de onda; aqui a “pseudo-emissividade” foi tratada como um fator simples aplicável na lei de Stefan–Boltzmann. Em aplicações reais a atmosfera complica (camadas com diferentes emissividades e temperaturas).
  • Se quiser, posso recalcular com outro valor de albedo ou com outro S_0; a fórmula para recalcular é rápida e direta.

Resposta

T\approx 320{,}1\\ \mathrm{K}
\approx 47{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}

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