Do ponto de vista dos climas planetários, o equilíbrio energético se estabelece quando a quantidade de energia que a estrela recebe é igual à energia que ele perde ao emitir radiação térmica. Neste contexto, é possível definir a chamada “temperatura de emissão” ou “temperatura efetiva” ( T 0 ), como sendo aquela que um corpo negro precisaria ter para que ele emitisse a mesma radiação térmica que um planeta em equilíbrio energético.
Sabendo que a constante solar é 1368 \mathrm{Wm}^{-2}, e de acordo com a tabela a seguir, determine a temperatura de emissão (ou efetiva) de Mercúrio, Vênus, Terra e Marte. Compare com os valores apresentados de suas temperaturas médias efetivamente observadas e discuta as discrepâncias.
Planeta Dist. média ao sol (milhões de km) Albed o planet ário Tde emiss ão \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) T média na superfície ( { }^{\circ} \mathrm{C} )
Mercúrio 57,9 0,068 179\left(430^{\circ} \mathrm{C}\right. lado iluminado a -163^{\circ} \mathrm{C} no lado escuro)
Vênus 108,2 0,90 462
Terra 149,5 0,31 15
Marte 227,9 0,25 -55

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede a temperatura de emissão (ou efetiva) para cada planeta e a comparação com a temperatura média observada:
  • Constante solar no afastamento da Terra: S_0 = 1368\\ \mathrm{W\,m^{-2}} (fornecida).
  • Distâncias médias ao Sol (tiradas da tabela):
    • Mercúrio: d_{\mathrm{Merc}} = 57{,}9 milhões de km.
    • Vênus: d_{\mathrm{Ven}} = 108{,}2 milhões de km.
    • Terra: d_{\mathrm{Ter}} = 149{,}5 milhões de km.
    • Marte: d_{\mathrm{Mar}} = 227{,}9 milhões de km.
  • Albedos (tirados da tabela):
    • Mercúrio: A_{\mathrm{Merc}} = 0{,}068.
    • Vênus: A_{\mathrm{Ven}} = 0{,}90.
    • Terra: A_{\mathrm{Ter}} = 0{,}31.
    • Marte: A_{\mathrm{Mar}} = 0{,}25.
  • Temperaturas médias observadas (coluna da tabela):
    • Mercúrio: dado como 179 (com observações de 430^\circ\mathrm{C} no lado iluminado e -163^\circ\mathrm{C} no lado escuro).
    • Vênus: 462^\circ\mathrm{C}.
    • Terra: 15^\circ\mathrm{C}.
    • Marte: -55^\circ\mathrm{C}.
O que precisa ser feito:
  • Calcular a temperatura de emissão efetiva T_0 de cada planeta usando os dados acima.
  • Comparar os valores calculados de T_0 com as temperaturas médias observadas e discutir as discrepâncias.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Um planeta em equilíbrio energético absorve potência solar e emite radiação térmica. A potência média solar incidente por unidade de área perpendicular à direção do Sol, na distância d, é dada pela lei do inverso do quadrado da distância:
    S(d) = S_0\left(\dfrac{d_0}{d}\right)^{2},
    onde S_0 é a constante solar medida na distância de referência d_0. Aqui d_0 = 149{,}5 milhões de km (distância média da Terra), e S_0 = 1368\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
    • Explicação simples: quanto mais longe do Sol, menos energia por área chega — cai com o quadrado da distância.
  • Fração da energia solar absorvida pelo planeta: a fração absorvida é (1-A), onde A é o albedo (fração refletida).
  • Geometria: o planeta intercepta luz numa área de seção reta \pi R^2 (R = raio do planeta), mas em equilíbrio emite por toda a superfície 4\pi R^2. Esse fator geométrico gera o fator 1/4 na energia média por unidade de área que tem que ser reemitida.
  • Lei de Stefan–Boltzmann para emissão de corpo negro: potência emitida por unidade de área é \sigma T^4, onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann. Vou usar
    \sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
  • Igualando potência absorvida com potência emitida (equilíbrio energético) obtemos a fórmula da temperatura efetiva:
    (1-A)\,S(d)\,\pi R^2 \;=\; \sigma T_0^4\,4\pi R^2 \quad\Longrightarrow\quad T_0 \;=\; \left(\dfrac{(1-A)\,S(d)}{4\,\sigma}\right)^{1/4}.
    • Comentário: T_0 é a temperatura que um corpo negro teria para emitir a mesma potência média por unidade de área que o planeta. Não considera efeito de atmosfera (greenhouse), nem diferenças dia/noite locais.

Passo 3

Cálculo do fluxo solar S(d) em cada planeta pela lei do inverso do quadrado. Usamos d_0 = 149{,}5 milhões de km e S_0 = 1368\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Fórmula: S(d) = 1368\\ \mathrm{W\,m^{-2}}\left(\dfrac{149{,}5}{d}\right)^{2},com d em milhões de km (coerente com os dados da tabela).
Agora calculo os valores numéricos (arredondando de forma razoável):
  • Mercúrio ( d=57{,}9):
    S_{\mathrm{Merc}} = 1368\left(\dfrac{149{,}5}{57{,}9}\right)^{2} \approx 9120{,}6\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Vênus ( d=108{,}2):
    S_{\mathrm{Ven}} = 1368\left(\dfrac{149{,}5}{108{,}2}\right)^{2} \approx 2611{,}3\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Terra ( d=149{,}5):
    S_{\mathrm{Ter}} = 1368\left(\dfrac{149{,}5}{149{,}5}\right)^{2} = 1368\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Marte ( d=227{,}9):
    S_{\mathrm{Mar}} = 1368\left(\dfrac{149{,}5}{227{,}9}\right)^{2} \approx 587{,}4\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 4

Cálculo detalhado de T_0 para Mercúrio (passo a passo, sem pular contas):
  • Dados usados (pegados da tabela): A_{\mathrm{Merc}}=0{,}068 e S_{\mathrm{Merc}}\approx9120{,}6\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Aplicando a fórmula: T_{0,\mathrm{Merc}} = \left(\dfrac{(1-0{,}068)\times 9120{,}6}{4\times 5{,}670374419\times10^{-8}}\right)^{1/4}.
  • Calculei internamente as etapas: (1-0{,}068)\times 9120{,}6 = 0{,}932\times9120{,}6 \approx 8500{,}0\\ \mathrm{W\,m^{-2}},
\dfrac{8500{,}0}{4} \approx 2125{,}0\\ \mathrm{W\,m^{-2}},
\dfrac{2125{,}0}{\sigma} \approx \dfrac{2125{,}0}{5{,}670374419\times10^{-8}} \approx 3{,}7484\times10^{10},
T_{0,\mathrm{Merc}} = (3{,}7484\times10^{10})^{1/4} \approx 441{,}2\\ \mathrm{K}.
  • Converter para graus Celsius: T_{0,\mathrm{Merc}} = 441{,}2 - 273{,}15 \approx 168{,}1^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Cálculo detalhado de T_0 para Vênus:
  • Dados: A_{\mathrm{Ven}}=0{,}90, S_{\mathrm{Ven}}\approx2611{,}3\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Fórmula: T_{0,\mathrm{Ven}} = \left(\dfrac{(1-0{,}90)\times 2611{,}3}{4\sigma}\right)^{1/4}.
  • Etapas: (1-0{,}90)\times 2611{,}3 = 0{,}10\times2611{,}3 \approx 261{,}13,
\dfrac{261{,}13}{4} \approx 65{,}2825,
\dfrac{65{,}2825}{\sigma} \approx 1{,}1518\times10^{9},
T_{0,\mathrm{Ven}} = (1{,}1518\times10^{9})^{1/4} \approx 184{,}9\\ \mathrm{K}.
  • Em Celsius: T_{0,\mathrm{Ven}} = 184{,}9 - 273{,}15 \approx -88{,}3^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Cálculo detalhado de T_0 para a Terra:
  • Dados: A_{\mathrm{Ter}}=0{,}31, S_{\mathrm{Ter}}=1368\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Fórmula: T_{0,\mathrm{Ter}} = \left(\dfrac{(1-0{,}31)\times 1368}{4\sigma}\right)^{1/4}.
  • Etapas: (1-0{,}31)\times1368 = 0{,}69\times1368 \approx 943{,}92,
\dfrac{943{,}92}{4} \approx 235{,}98,
\dfrac{235{,}98}{\sigma} \approx 4{,}1635\times10^{9},
T_{0,\mathrm{Ter}} = (4{,}1635\times10^{9})^{1/4} \approx 253{,}99\\ \mathrm{K}.
  • Em Celsius: T_{0,\mathrm{Ter}} = 253{,}99 - 273{,}15 \approx -19{,}2^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Cálculo detalhado de T_0 para Marte:
  • Dados: A_{\mathrm{Mar}}=0{,}25, S_{\mathrm{Mar}}\approx587{,}4\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Fórmula: T_{0,\mathrm{Mar}} = \left(\dfrac{(1-0{,}25)\times 587{,}4}{4\sigma}\right)^{1/4}.
  • Etapas: (1-0{,}25)\times587{,}4 = 0{,}75\times587{,}4 \approx 440{,}55,
\dfrac{440{,}55}{4} \approx 110{,}14,
\dfrac{110{,}14}{\sigma} \approx 1{,}9427\times10^{9},
T_{0,\mathrm{Mar}} = (1{,}9427\times10^{9})^{1/4} \approx 210{,}0\\ \mathrm{K}.
  • Em Celsius: T_{0,\mathrm{Mar}} = 210{,}0 - 273{,}15 \approx -63{,}2^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Comparação entre T_0 calculadas e as temperaturas médias observadas (e discussão das discrepâncias):
  • Resultados calculados (resumo):
    • Mercúrio: T_{0,\mathrm{Merc}}\approx 441{,}2\\ \mathrm{K} ( 168{,}1^\circ\mathrm{C}).
    • Vênus: T_{0,\mathrm{Ven}}\approx 184{,}9\\ \mathrm{K} ( -88{,}3^\circ\mathrm{C}).
    • Terra: T_{0,\mathrm{Ter}}\approx 253{,}99\\ \mathrm{K} ( -19{,}2^\circ\mathrm{C}).
    • Marte: T_{0,\mathrm{Mar}}\approx 210{,}0\\ \mathrm{K} ( -63{,}2^\circ\mathrm{C}).
  • Comparação com as temperaturas médias da tabela (peguei esses valores da coluna “T média na superfície”):
    • Mercúrio (tabela): média mostrada 179 (com 430^\circ\mathrm{C} no lado iluminado e -163^\circ\mathrm{C} no lado escuro). Nosso T_0\approx168{,}1^\circ\mathrm{C} está na mesma ordem de grandeza do valor médio indicado na tabela (diferença moderada). Observação: Mercúrio tem atmosfera quase inexistente, grandes diferenças dia/noite; nosso T_0 é um valor médio teórico assumindo redistribuição isotrópica da energia — na prática a temperatura superficial varia muito.
    • Vênus (tabela): 462^\circ\mathrm{C}. Nosso T_0\approx -88{,}3^\circ\mathrm{C} é muito, muito menor que a temperatura observada. Essa discrepância enorme se explica pelo efeito estufa fortíssimo em Vênus: uma atmosfera densa de \mathrm{CO_2} e nuvens retém radiação térmica e eleva a temperatura de superfície muito acima da temperatura efetiva calculada sem atmosfera.
    • Terra (tabela): 15^\circ\mathrm{C}. Nosso T_0\approx -19{,}2^\circ\mathrm{C} é cerca de 34{,}2^\circ\mathrm{C} mais frio que a temperatura média observada. Essa diferença é atribuída ao efeito estufa moderado da atmosfera terrestre (vapor d’água, \mathrm{CO_2}, etc.) que aumenta a temperatura da superfície acima da temperatura efetiva do corpo negro.
    • Marte (tabela): -55^\circ\mathrm{C}. Nosso T_0\approx -63{,}2^\circ\mathrm{C} está bastante próximo do valor observado (diferença de ordem de 8^\circ\mathrm{C}). Marte tem atmosfera muito tênue, então o efeito estufa é pequeno e a temperatura efetiva aproxima-se razoavelmente da temperatura média observada.
  • Resumo das explicações físicas para as discrepâncias:
    • Atmosfera e efeito estufa: presença de gases de efeito estufa retém radiação térmica emitida pela superfície, aquecendo-a acima de T_0. É o caso extremo de Vênus e o caso moderado da Terra. Marte e Mercúrio têm atmosferas muito fracas, portanto T_0 aproxima-se melhor da temperatura real média (embora Mercúrio sofra grande variação diurna por rotacão lenta e ausência de atmosfera).
    • Albedo e nuvens: alto albedo (Vênus, A\approx0{,}90) reduz o \emph{absorvido} e diminui T_0, mas as nuvens também contribuem para o efeito estufa inverso (retêm calor), então a temperatura real pode ser muito maior que T_0.
    • Redistribuição de calor e rotação: planetas com atmosfera e/ou oceanos redistribuem calor do dia para a noite; planetas sem atmosfera (Mercúrio) têm grandes diferenças locais entre dia e noite, então a média de T_0 pode não representar bem extremos locais.
    • Emissividade real: usamos hipótese de corpo negro (emissividade =1); na prática a emissividade pode variar com comprimento de onda, superfície e atmosfera, alterando um pouco os valores.

Passo 9

Resumo final (motivação e dica de prova):
  • A fórmula chave é T_0 = \left(\dfrac{(1-A)\,S(d)}{4\sigma}\right)^{1/4},com S(d)=S_0(149{,}5/d)^2. Use sempre essa fórmula, calcule S(d) pela lei do inverso do quadrado e lembre de converter Kelvin para Celsius subtraindo 273{,}15.
  • Em prova: escreva claramente os dados que usou (albedo, distância), mostre o cálculo de S(d), aplique a fórmula e compare com a temperatura observada discutindo a presença/ausência de atmosfera como principal explicação das diferenças.

Resposta

Mercúrio: 168{,}1^\circ\mathrm{C}
Vênus: -88{,}3^\circ\mathrm{C}
Terra: -19{,}2^\circ\mathrm{C}
Marte: -63{,}2^\circ\mathrm{C}

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