Sabendo-se que a temperatura do Sol é da ordem de 5780 K e as temperaturas médias da terra e no topo das nuvens são de 15^{\circ} \mathrm{C} e -24^{\circ} \mathrm{C}, calcule os comprimentos de onda da máxima emissão do sol, da superfície terrestre e das nuvens.
5. Do ponto de vista dos climas planetários, o equilíbrio energético se estabelece quando a quantidade de energia que a estrela recebe é igual à energia que ele perde ao emitir radiação térmica. Neste contexto, é possível definir a chamada “temperatura de emissão” ou “temperatura efetiva” ( T 0 ), como sendo aquela que um corpo negro precisaria ter para que ele emitisse a mesma radiação térmica que um planeta em equilíbrio energético.

Passo 1

O enunciado fornece as temperaturas e pede os comprimentos de onda de máxima emissão correspondentes. Informações dadas:
  • Temperatura do Sol: T_{\odot}=5780\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura média da superfície terrestre: 15^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura no topo das nuvens: -24^\circ\mathrm{C}.
O que se pede:
  • Calcular o comprimento de onda de máxima emissão para o Sol, para a superfície terrestre e para o topo das nuvens.

Passo 2

Conceito e fórmula que usaremos (aula rápida): corpos que emitem radiação térmica podem ser aproximados por “corpos negros”. Para um corpo negro a distribuição de energia emitida em função do comprimento de onda tem um máximo cuja posição é dada pela Lei de Deslocamento de Wien:
\lambda_{\max}=\frac{b}{T},
onde:
  • \lambda_{\max} é o comprimento de onda em que a emissão é máxima (unidades de \mathrm{m}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}),
  • b é a constante de Wien. Usaremos b=2{,}898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
Também precisamos converter as temperaturas em Celsius para Kelvin. A conversão é:
T(\mathrm{K})=T({}^\circ\mathrm{C})+273{,}15.

Passo 3

Converter as temperaturas em Celsius para Kelvin (passo a passo):
  • Para a superfície terrestre: 15^\circ\mathrm{C} corresponde a
T_{\text{terra}}=15+273{,}15=288{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Para o topo das nuvens: -24^\circ\mathrm{C} corresponde a
T_{\text{nuvens}}=-24+273{,}15=249{,}15\\ \mathrm{K}.
(O Sol já foi fornecido em kelvin: T_{\odot}=5780\\ \mathrm{K}.)

Passo 4

Calcular \lambda_{\max} para o Sol usando a Lei de Wien:
\lambda_{\max,\odot}=\frac{b}{T_{\odot}}=\frac{2{,}898\times10^{-3}}{5780}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a divisão:
\lambda_{\max,\odot}\approx 5{,}01\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Converter para unidades mais intuitivas:
5{,}01\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=501\\ \mathrm{nm}=0{,}501\\ \mu\mathrm{m}.
Interpretação curta: esse valor está no visível (verde), por isso o Sol é muito brilhante nessa faixa.

Passo 5

Calcular \lambda_{\max} para a superfície terrestre:
\lambda_{\max,\text{terra}}=\frac{2{,}898\times10^{-3}}{288{,}15}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a divisão:
\lambda_{\max,\text{terra}}\approx 1{,}0056\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Converter para micrômetros:
1{,}0056\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=10{,}06\\ \mu\mathrm{m}.
Isso mostra que a Terra emite principalmente no infravermelho térmico (cerca de 10\\ \mu\mathrm{m}).

Passo 6

Calcular \lambda_{\max} para o topo das nuvens:
\lambda_{\max,\text{nuvens}}=\frac{2{,}898\times10^{-3}}{249{,}15}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a divisão:
\lambda_{\max,\text{nuvens}}\approx 1{,}1629\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Converter para micrômetros:
1{,}1629\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=11{,}63\\ \mu\mathrm{m}.
Conclusão física curta: nuvens, estando mais frias, têm pico de emissão em comprimentos de onda um pouco maiores (mais para o infravermelho) do que a superfície terrestre.

Passo 7

Resumo didático rápido sobre por que usamos isso em climas planetários: a Lei de Wien nos diz onde cada corpo concentra sua emissão espectral. Para balanço energético planetário usa-se a temperatura efetiva T_0 — a temperatura que um corpo negro teria para emitir a mesma potência total — relacionada à energia recebida pela estrela e à energia emitida pelo planeta (essa relação envolve a Lei de Stefan–Boltzmann, mas aqui só era pedido o pico espectral).

Resposta

\lambda_{\max,\odot}\approx 5{,}01\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=501\\ \mathrm{nm}
\lambda_{\max,\text{terra}}\approx 1{,}0056\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=10{,}06\\ \mu\mathrm{m}
\lambda_{\max,\text{nuvens}}\approx 1{,}1629\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=11{,}63\\ \mu\mathrm{m}

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