Qual seria a temperatura esperada para a superfície da Terra caso a pseudo-emissividade terrestre fosse reduzida para 0,20 ; Considere que o albedo permaneça constante.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a temperatura esperada para a superfície da Terra quando a pseudo-emissividade terrestre for reduzida para 0,20, mantendo o albedo constante.
Informações dadas e hipóteses que vou adotar (o enunciado não deu valores numéricos para alguns parâmetros essenciais, então uso os valores padrão da literatura):
  • Pseudo-emissividade (emissividade efetiva) da Terra: \varepsilon = 0,20.
  • Albedo (fração de radiação solar refletida) mantido constante; vou usar o valor médio da Terra \;A = 0,30 (valor padrão).
  • Constante solar (fluxo solar no topo da atmosfera, para a Terra): \;S_0 = 1361\\ \mathrm{W\,m^{-2}} (valor padrão).
  • Constante de Stefan–Boltzmann: \displaystyle \sigma = 5{,}670374419\times 10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
O resultado pedido é uma temperatura de superfície; a resposta final será dada em kelvin e em graus Celsius.

Passo 2

Escolha do modelo físico (explicação intuitiva do que vou usar):
  • Para estimar a temperatura média da superfície de forma simples e didática, uso o balanço energético global na forma de corpo cinza (grey body): a potência média absorvida da radiação solar é igual à potência média emitida na faixa do infravermelho pela superfície+atmosfera.
  • Não se preocupes se isso soa novo — é a forma mais direta de relacionar albedo, constante solar e emissividade com a temperatura média.
(O objetivo aqui é ensinar: nos próximos passos vou escrever a equação desse balanço e explicar cada termo.)

Passo 3

Escrevendo a equação do balanço energético:
  • A potência média solar incidente por unidade de área da Terra (média sobre a esfera) é \dfrac{S_0}{4}. Esse fator 1/4 aparece porque a Terra intercepta energia numa secção circular \pi R^2 mas a distribui sobre a superfície esférica 4\pi R^2.
  • A fração que realmente é absorvida é (1-A), onde A é o albedo.
  • A potência emitida por unidade de área, no modelo de corpo cinza, é \varepsilon\,\sigma\,T^4, onde:
    • \varepsilon é a emissividade efetiva (pseudo-emissividade),
    • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann,
    • T é a temperatura média de superfície em kelvin.
Igualando entrada e saída de energia:
(1-A)\,\frac{S_0}{4} \;=\; \varepsilon\,\sigma\,T^4.

Passo 4

Isolando a temperatura T:
  • Resolvo a equação para T:
T \;=\; \left(\dfrac{(1-A)\,S_0}{4\,\varepsilon\,\sigma}\right)^{1/4}.
  • Aqui, cada símbolo significa:
    • T: temperatura média de superfície (K),
    • A: albedo (adimensional),
    • S_0: constante solar ( \mathrm{W\,m^{-2}}),
    • \varepsilon: emissividade adimensional,
    • \sigma: constante de Stefan–Boltzmann ( \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}).

Passo 5

Substituindo os valores numéricos nas expressões parciais (parte 1: numerador):
  • Calcular (1-A)\,S_0 com A=0,30 e S_0=1361\\ \mathrm{W\,m^{-2}}:
(1-A)\,S_0 = (1-0,30)\times 1361 = 0,70\times 1361 = 952,7\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 6

Parte 2: dividir por 4 (média sobre a esfera):
\frac{(1-A)\,S_0}{4} = \frac{952,7}{4} = 238,175\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 7

Parte 3: dividir pelo produto \varepsilon\,\sigma:
  • Com \varepsilon = 0,20 e \sigma = 5{,}670374419\times 10^{-8},
\frac{238,175}{\varepsilon} = \frac{238,175}{0,20} = 1190,875\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
\frac{1190,875}{\sigma} = \frac{1190,875}{5{,}670374419\times 10^{-8}}.
  • Calculo esse quociente numérico:
\frac{1190,875}{5{,}670374419\times 10^{-8}} \approx 2{,}099\times 10^{10}.
(Essa é a quantidade que corresponde a T^4.)

Passo 8

Parte 4: obter T tomando a raiz quarta. Vou fazer em duas etapas usando raízes quadradas sucessivas (método prático sem calculadora científica):
  • Primeiro calcule \sqrt{T^4} = T^2 = \sqrt{2{,}099\times 10^{10}}.
    • \sqrt{2{,}099\times 10^{10}} = \sqrt{2{,}099}\times \sqrt{10^{10}} \approx 1{,}449\times 10^{5} = 1{,}449\times 10^{5}.
  • Depois T = \sqrt{T^2} = \sqrt{1{,}449\times 10^{5}} = \sqrt{1{,}449}\times \sqrt{10^{5}} \approx 1{,}2037\times 316{,}227 \approx 380{,}6\\ \mathrm{K}.

Passo 9

Resultado final e conversão para Celsius:
  • Temperatura em kelvin: T \approx 380{,}6\\ \mathrm{K}.
  • Converter para graus Celsius usando T(^{\circ}\mathrm{C}) = T(\mathrm{K}) - 273{,}15:
T \approx 380{,}6 - 273{,}15 \approx 107{,}5\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 10

Interpretação curta e empática (didática):
  • O modelo simples mostra que reduzir muito a emissividade efetiva da Terra para \varepsilon=0,20 faz com que a temperatura de equilíbrio aumente drasticamente (para cerca de 381\\ \mathrm{K}, isto é, \sim 107{,}5^\circ\mathrm{C}).
  • Atenção: este é um modelo de balanço energético muito simplificado (corpo cinza médio). Na realidade, a atmosfera tem camadas, processos convectivos e feedbacks complicados, então o número serve para dar uma ideia do impacto qualitativo: reduzir a capacidade de emitir radiação (baixo \varepsilon) aumenta fortemente a temperatura de equilíbrio.

Resposta

T \approx 380{,}6\\ \mathrm{K}
T \approx 107{,}5^\circ\mathrm{C}

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