Para que o sistema abaixo esteja em equilíbrio, os ângulos a e b devem obedecer:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema que precisa estar em equilíbrio, e pra isso os ângulos $ a $ e $ b $ têm que seguir a relação $ 2 \sin(a) = \sin(b) $. A matéria aqui é trigonometria, especificamente envolvendo a função seno e suas propriedades. Vamos precisar lembrar como a função seno se comporta e quais relações podem existir entre os ângulos para que essa igualdade seja verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos: $ 2 \sin(a) = \sin(b) $. Isso quer dizer que o seno de $ b $ é igual a duas vezes o seno de $ a $. Para resolver isso, precisamos achar uma relação entre $ a $ e $ b $ que satisfaça essa igualdade.
Passo 3
Sabemos que o valor da função seno está sempre entre -1 e 1, ou seja, $ -1 \leq \sin(\theta) \leq 1 $ para qualquer ângulo $ \theta $. Então, para que $ 2 \sin(a) $ seja igual a $ \sin(b) $, precisamos garantir que $ 2 \sin(a) $ também esteja nesse intervalo. Isso nos diz que $ \sin(a) $ deve estar entre -0,5 e 0,5.
Passo 4
Vamos então isolar $ \sin(b) $ na equação: $ \sin(b) = 2 \sin(a) $. Agora, precisamos encontrar valores de $ b $ que satisfaçam essa igualdade para valores de $ a $ onde $ \sin(a) $ está entre -0,5 e 0,5.
Passo 5
Lembrando que a função seno é periódica com período $ 2\pi $, podemos escrever as soluções gerais para $ b $ em termos de $ a $. As soluções para $ \sin(b) = k $ são dadas por:
onde $ n $ é qualquer inteiro.
Passo 6
Aplicando isso à nossa equação, onde $ k = 2 \sin(a) $, temos:
Isso nos dá as possíveis relações entre $ a $ e $ b $ para o sistema estar em equilíbrio.
Resposta
Para que o sistema esteja em equilíbrio, os ângulos $ a $ e $ b $ devem satisfazer:
ou
onde $ n $ é qualquer número inteiro.