Um sistema com apenas quatro pólos e nenhum zeros exibe que inclinação na curva de magnitude no diagrama de Bode para altas frequências? E que fase?

Passo 1

O enunciado dá um sistema com apenas quatro pólos e nenhum zero e pergunta duas coisas para altas frequências:
  • Qual a inclinação (slope) da curva de magnitude no diagrama de Bode?
  • Qual a fase do sistema?
Informações relevantes fornecidas:
  • O sistema tem exatamente quatro pólos.
  • Não há zeros.
  • Queremos o comportamento para altas frequências (ou seja, \omega muito maior que todas as frequências características dos pólos).

Passo 2

Vamos escrever uma forma genérica conveniente para um sistema com quatro pólos e ganho K. Considere
G(s)=\frac{K}{\bigl(1+\dfrac{s}{p_1}\bigr)\bigl(1+\dfrac{s}{p_2}\bigr)\bigl(1+\dfrac{s}{p_3}\bigr)\bigl(1+\dfrac{s}{p_4}\bigr)}.
Aqui s=j\omega, cada p_i>0 é a frequência de quebra (polo) e K é o ganho DC (ou ganho de baixo \omega). Para analisar Bode usamos a magnitude em dB
20\log_{10}\bigl|G(j\omega)\bigr|.

Passo 3

Primeiro lembro o comportamento assintótico de um único polo. Para um fator \bigl(1+\dfrac{j\omega}{p}\bigr), quando \omega\gg p temos
1+\frac{j\omega}{p}\approx \frac{j\omega}{p}.
A magnitude desse fator para \omega\gg p é
\Bigl|\frac{j\omega}{p}\Bigr|=\frac{\omega}{p},
logo, para um sistema com um único polo a magnitude em dB se comporta como
20\log_{10}\Bigl(\frac{1}{\omega}\Bigr)+\text{const}=-20\log_{10}\omega+\text{const}.
Isto significa que um único polo contribui com uma inclinação de -20\\ \text{dB/decade} na porção de alta frequência do diagrama de magnitude. (Uma “decade” significa multiplicar \omega por 10.)

Passo 4

Agora estendendo para quatro polos: para \omega muito maior que todos os p_i cada fator \bigl(1+\dfrac{j\omega}{p_i}\bigr)\approx \dfrac{j\omega}{p_i}. Então
G(j\omega)\approx \frac{K}{(j\omega)^4}\,p_1p_2p_3p_4.
A magnitude é proporcional a \omega^{-4}, ou seja
|G(j\omega)|\propto \frac{1}{\omega^4}.
Passando para dB:
20\log_{10}|G(j\omega)| \approx 20\log_{10}(\text{const}) - 80\log_{10}\omega.
Portanto a inclinação é -80\\ \text{dB/decade} (porque -80 vem de -20\times 4).

Passo 5

Agora a fase. Para um único fator \bigl(1+\dfrac{j\omega}{p}\bigr) com \omega\gg p temos \arg(1+j\omega/p)\to +90^\circ. Como esse fator está no denominador, cada polo contribui com -90^\circ ao ângulo total. Com quatro polos a soma das contribuições é
-90^\circ \times 4 = -360^\circ.
Observação prática: -360^\circ é geométrica e matematicamente equivalente a 0^\circ (ângulo mod 360^\circ). Em diagramas de Bode normalmente se usa a fase “desenrolada” (unwrapped) e então a tendência assintótica mostraria -360^\circ. Em muitos gráficos a fase é “embrulhada” para o intervalo (-\!180^\circ,180^\circ], caso em que o limite -360^\circ aparece como 0^\circ. Ambas as descrições são compatíveis; a informação útil é que a fase decresce de aproximadamente -90^\circ por polo até atingir o total de -360^\circ para \omega bem alto.

Passo 6

Resumo intuitivo e numérico rápido para gravar na prova:
  • Cada polo adiciona -20\\ \text{dB/decade} à inclinação da magnitude e -90^\circ à fase, portanto quatro polos dão -80\\ \text{dB/decade} e -360^\circ.
  • Lembre que em Bode é comum falar -360^\circ (unwrapped) ou 0^\circ (wrapped), então esteja atento à convenção pedida na prova.

Resposta

-80\\ \text{dB/decade}
-360^\circ (equivalente a 0^\circ módulo 360^\circ)

Exercícios relacionados