Um sistema de aquecimento deve manter o interior de um edifício a 20^{\circ} \mathrm{C} durante o período em que a temperatura do ar exterior está a 5^{\circ} \mathrm{C}, sendo a transferência de calor do edifício pelas suas\nparedes e teto de 3 \times 10^{6} \mathrm{~kJ}. Para esta tarefa, bombas de calor são consideradas para operar entre a edificação e:
a) o solo, a 15^{\circ} \mathrm{C}. Para cada caso, avalie o trabalho líquido mínimo necessário para operar qualquer bomba de calor, em kJ.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho líquido mínimo necessário para que uma bomba de calor mantenha o interior do edifício a 20^{\circ}\mathrm{C}, sabendo que a transferência de calor (calor que deve ser reposto pela bomba) é de 3\times 10^{6}\\ \mathrm{kJ}. Para o caso (a) a bomba opera entre o interior do edifício e o solo, cuja temperatura é 15^{\circ}\mathrm{C}.
Dados fornecidos:
\text{Temperatura interior } = 20^{\circ}\mathrm{C}
\text{Temperatura do solo (fonte) } = 15^{\circ}\mathrm{C}
\text{Calor a ser fornecido ao edifício } Q_{h} = 3\times 10^{6}\\ \mathrm{kJ}í
Pergunta clara: calcular o trabalho líquido mínimo W_{\min} (em kJ) para qualquer bomba de calor operando entre essas temperaturas, para repor Q_h.

Passo 2

Conceito físico usado (explicado passo a passo): o trabalho mínimo ocorre para um ciclo reversível (ciclo de Carnot). Para um ciclo reversível entre reservatórios à temperatura absoluta T_{h} (destino do calor, aqui interior) e T_{c} (fonte do calor, aqui solo), a Segunda Lei dá:
\frac{Q_{h}}{T_{h}}=\frac{Q_{c}}{T_{c}}
e a Primeira Lei (conservação de energia) dá:
W = Q_{h}-Q_{c}.
A partir disso podemos eliminar Q_{c}. Primeiro isolamos Q_{c} pela relação da Segunda Lei:
Q_{c}=Q_{h}\,\frac{T_{c}}{T_{h}}.
Substituindo em W=Q_{h}-Q_{c} obtemos:
W=Q_{h}\left(1-\frac{T_{c}}{T_{h}}\right)=Q_{h}\,\frac{T_{h}-T_{c}}{T_{h}}.
Outra forma útil é usar o coeficiente de performance (COP) de aquecimento de Carnot, definido por
\mathrm{COP}_{\text{HP}}=\frac{Q_{h}}{W}=\frac{T_{h}}{T_{h}-T_{c}}.
Daqui,
W_{\min}=\frac{Q_{h}}{\mathrm{COP}_{\text{HP}}}=Q_{h}\frac{T_{h}-T_{c}}{T_{h}}.
Observação importante sobre temperaturas: T nas fórmulas termodinâmicas são temperaturas absolutas em kelvin. Convertemos Celsius para kelvin com:
T(\mathrm{K}) = t(^{\circ}\mathrm{C}) + 273,15.

Passo 3

Convertemos as temperaturas para kelvin e calculamos os termos:
T_{h}=20^{\circ}\mathrm{C}+273{,}15=293{,}15\\ \mathrm{K},
T_{c}=15^{\circ}\mathrm{C}+273{,}15=288{,}15\\ \mathrm{K},
diferença de temperaturas
T_{h}-T_{c}=293{,}15-288{,}15=5{,}00\\ \mathrm{K}.
Calculamos o \mathrm{COP}_{\text{HP}} de Carnot:
\mathrm{COP}_{\text{HP}}=\frac{T_{h}}{T_{h}-T_{c}}=\frac{293{,}15}{5{,}00}=58{,}63\\ (\text{adimensional}).

Passo 4

Agora calculamos o trabalho mínimo usando W_{\min}=Q_{h}(T_{h}-T_{c})/T_{h} ou W_{\min}=Q_{h}/\mathrm{COP}_{\text{HP}}. Substituindo valores:
W_{\min}= \frac{3\times 10^{6}\\ \mathrm{kJ}}{58{,}63} = \frac{3\times 10^{6}\cdot 5{,}00}{293{,}15}\\ \mathrm{kJ}.
Fazendo a divisão:
W_{\min}\approx 51\,179\\ \mathrm{kJ}.
Arredondando com três algarismos significativos, podemos escrever W_{\min}\approx 5{,}12\times 10^{4}\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo: esse valor é o mínimo teórico (ciclo reversível). Bombas reais terão eficiência menor (coeficiente de performance menor), logo exigirão trabalho maior. Mas para resolver questões de prova e estimativas, usar o ciclo de Carnot e a conversão para kelvin é exatamente o procedimento esperado — você mandou bem vindo até aqui!

Resposta

51\,179\\ \mathrm{kJ}

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