Um sistema composto por um cilindro com pistão contém um fluido inicialmente a uma pressão de 200 kPa e temperatura de 150^{\circ} \mathrm{C}. Nesse estado inicial, a massa do fluido é de 12 g . O sistema é então submetido a um processo de aquecimento até que a pressão se torne o dobro da inicial e o volume final atinja 20 litros. Determine a variação entrópica do processo para o fluido em questão sendo
água

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a variação de entropia do sistema (água) no processo.
Dados fornecidos:
  • Pressão inicial: p_1 = 200\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura inicial: T_1 = 150^\circ\mathrm{C} (ou seja T_1 = 423,15\\ \mathrm{K}).
  • Massa do fluido: m = 12\\ \mathrm{g} = 0,012\\ \mathrm{kg}.
  • Pressão final: p_2 = 2p_1 = 400\\ \mathrm{kPa}.
  • Volume final do sistema: V_2 = 20\\ \mathrm{L} = 0,02\\ \mathrm{m}^3.
O que é pedido:
  • Determinar a variação de entropia total do fluido no processo, isto é \Delta S = S_2 - S_1 = m\,(s_2 - s_1).
Observação útil (para classificar os estados):
  • O volume específico final é \displaystyle v_2=\frac{V_2}{m}=\frac{0,02}{0,012}=1,6667\\ \mathrm{m^3/kg}. Esse valor é muito grande comparado a volumes específicos de vapor saturado a pressões próximas (da ordem de 0,4 0,6\\ \mathrm{m^3/kg}), o que indica que o estado final é vapor superaquecido. Além disso, a temperatura inicial 150^\circ\mathrm{C} é maior que a temperatura de saturação à pressão 0,2\\ \mathrm{MPa} (valor de tabela: T_\text{sat}\approx120,2^\circ\mathrm{C}), então o estado inicial também é vapor superaquecido. Portanto ambos os estados são de vapor superaquecido.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicando a física usada).
  • Para vapor superaquecido é razoável, como aproximação prática, tratar o vapor como gás perfeito (ideal) quando o vapor está bem superaquecido. Isso permite usar fórmulas simples e encontrarmos \Delta s sem consultar tabelas superaquecidas detalhadas.
  • Para um gás perfeito com capacidades caloríficas aproximadas constantes em um intervalo, a variação de entropia específica entre dois estados escritos em termos de T e p é
s_2-s_1 = c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).
Aqui:
  • s é entropia específica ( \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}),
  • c_p é a capacidade calorífica a pressão constante (aproximada constante, em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}),
  • R é a constante do gás para vapor d’água ( R\approx0,4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}),
  • T em kelvin e p em kPa (unidades coerentes com R).
Derivação curta da fórmula (intuição):
  • A primeira lei para um gás ideal dá relações entre energia interna e temperatura; a expressão diferencial exata para entropia de gás ideal pode ser escrita como \mathrm{d}s = c_p\frac{\mathrm{d}T}{T} - R\frac{\mathrm{d}p}{p}. Integrando entre 1 e 2 e assumindo c_p aproximadamente constante obtemos a expressão acima.
Justificativa do uso:
  • Ambos os estados são superaquecidos (ver passo anterior), logo o comportamento do vapor aproxima-se do de gás ideal. Usaremos c_p constante aproximado para vapor de água; este é um procedimento comum em exercícios onde as tabelas não são solicitadas. Vou usar c_p = 1,9\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} como valor típico médio do vapor de água no intervalo considerado (é uma aproximação razoável). Se desejar precisão máxima, é preciso obter s_1 e s_2 diretamente em tabelas superaquecidas.

Passo 3

Calcular v_2 (já feito) e determinar a temperatura final T_2 usando a aproximação de gás ideal.
  • Fórmula da lei do gás ideal por unidade de massa:
T_2 = \frac{p_2 v_2}{R},
com p_2 em kPa, v_2 em \mathrm{m^3/kg} e R=0,4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Substituindo:
v_2=\frac{0,02}{0,012}=1,6667\\ \mathrm{m^3/kg},
T_2=\frac{400\cdot 1,6667}{0,4615}\\ \mathrm{K}
T_2 \approx 1444,4\\ \mathrm{K}.
Observação: esse T_2 é muito alto porque o vapor ficou muito rarefeito a 400\\ \mathrm{kPa}; é consistente com tratar o vapor como gás ideal superaquecido.

Passo 4

Calcular a variação de entropia específica usando a fórmula do Passo 2.
  • Valores usados:
    • T_1=423,15\\ \mathrm{K},
    • T_2\approx1444,4\\ \mathrm{K},
    • p_1=200\\ \mathrm{kPa},
    • p_2=400\\ \mathrm{kPa},
    • R=0,4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
    • c_p=1,9\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (aproximação).
Aplicando
s_2-s_1 = c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).
Calculemos os termos:
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\ln\!\left(\frac{1444,4}{423,15}\right)\approx 1,2290,
c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) \approx 1,9\cdot 1,2290 \approx 2,3351\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)=\ln(2)\approx 0,6931,
R\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)\approx 0,4615\cdot 0,6931 \approx 0,3198\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Portanto
s_2-s_1 \approx 2,3351 - 0,3198 = 2,0153\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 5

Calcular a variação total de entropia do fluido \Delta S.
\Delta S = m\,(s_2-s_1) = 0,012\cdot 2,0153\\ \mathrm{kJ/K} = 0,0241836\\ \mathrm{kJ/K}.
Convertendo para joules por kelvin:
\Delta S \approx 24,18\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Comentários finais e sobre precisão (motivação e encorajamento rápido).
  • Resultado obtido com a aproximação de gás ideal e c_p constante. Para vapor fortemente superaquecido essa é uma aproximação aceitável; se for necessária maior precisão, deve-se consultar tabelas de vapor superaquecido e obter s_1 e s_2 diretamente (procedimento que eu também posso fazer para você se quiser).
  • Você está indo bem: a parte conceitual foi identificar que ambos os estados eram vapor superaquecido e então usar a relação de entropia do gás ideal. Isso é exatamente o tipo de raciocínio que vale na prova quando tabelas não são pedidas ou não estão disponíveis.

Resposta

\Delta S \approx 24,18\\ \mathrm{J/K}

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