Represente graficamente os polos e zeros desse sistema e discuta a dominância dos polos complexos. Qual máxima ultrapassagem se espera para uma entrada em degrau?
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência em malha fechada
e pede duas coisas: (1) representar graficamente polos e zeros e discutir a dominância dos polos complexos; (2) informar a máxima ultrapassagem (máximo overshoot) esperada para uma entrada em degrau.
Informações relevantes fornecidas: o numerador é 11,1\,(s+18) (logo há um zero em s=-18 e ganho multiplicativo 11,1); o denominador é (s+20)(s^{2}+4s+10), logo há um polo real em s=-20 e um par de polos complexos dados pelas raízes de s^{2}+4s+10. A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Encontremos explicitamente os polos e o zero. Primeiro o zero: pelo fator do numerador temos o zero em
s=-18.
Agora os polos: um polo real direto em
s=-20.
Os outros dois polos são as raízes da equação quadrática
Representação gráfica (plano complexo) dos polos e zeros — vou desenhar uma versão simples em ASCII para você visualizar onde ficam no plano Re(s) × Im(s). As coordenadas exatas já estão acima.
Im(s)
^
x (polo em s=-2+j2,449)
|
|
|
|
| x (polo em s=-20) o (zero em s=-18)
|________________________________________> Re(s)
-22 -20 -18 -10 -2 0
Legenda: “x” = pólos, “o” = zero.
Observação: o par de polos complexos está bem próximo do eixo imaginário (em Re = -2), enquanto o polo real e o zero estão muito mais à esquerda (em Re = -20 e -18), ou seja, muito mais rápidos.
Passo 4
Discussão da dominância dos polos complexos — conceito e aplicação direta.
O que significa um polo ser dominante? Significa que, na resposta temporal, os modos associados aos polos com parte real menos negativa (mais próximos do eixo imaginário) decaem mais devagar e, portanto, dominam o comportamento transiente. Uma regra prática: se um polo “rápido” tem parte real com magnitude várias vezes maior que a parte real do polo dominante (por exemplo, 5–10 vezes), ele pode ser aproximado como instantâneo/constante para estimar o comportamento dominado pelos polos mais lentos.
A razão em magnitude é 20/2=10, ou seja, o polo em -20 é cerca de 10 vezes mais rápido que os polos em -2\pm j2,449. Logo, os polos complexos em -2\pm j2,449 são dominantes: eles determinam a maioria da oscilação e do decaimento do transiente. O polo em -20 (e o zero em -18) são bem mais rápidos e influenciam pouco a forma principal do transiente — podem ser tratados, a primeiro corte, como fatores que só alteram ligeiramente ganho/fase na região de interesse.
Passo 5
Aproximação por um sistema de segunda ordem para estimar máxima ultrapassagem.
Como os polos dominantes são as raízes de s^{2}+4s+10, podemos identificar os parâmetros de um sistema de segunda ordem padrão
Fórmula da ultrapassagem máxima (overshoot) para sistema subamortecido de segunda ordem e cálculo numérico.
Para um sistema de segunda ordem sem zeros à esquerda próximos ao eixo imaginário, a máxima ultrapassagem percentual M_p para uma entrada em degrau unitário é dada por
Arredondando, a máxima ultrapassagem estimada é aproximadamente 7,7\%.
Passo 7
Efeito do zero em s=-18 e do polo rápido em s=-20 sobre essa estimativa.
O polo rápido em s=-20 está suficientemente à esquerda (≈10 vezes mais rápido) para que a aproximação por segunda ordem seja válida; seu efeito principal é acelerar componentes muito rápidos e reduzir influência no pico principal.
O zero real em s=-18 está também bem à esquerda comparado com os polos dominantes; como ele forma uma razão próxima de \dfrac{s+18}{s+20} para frequências dos modos dominantes, esse fator é aproximadamente uma constante com módulo próximo a
ou seja, reduz levemente o ganho do modo dominante. Zeros à esquerda e bem afastados tendem a ter influência pequena sobre o overshoot; quando o zero está muito próximo do polo rápido (aqui -18 e -20 estão próximos), pode haver ligeira atenuação da contribuição do polo rápido e uma pequena modificação na forma do pico, mas não é suficiente para invalidar a estimativa de segunda ordem. Assim a estimativa de cerca de 7,7\% permanece adequada; possivelmente o valor real fica na mesma ordem (por exemplo entre 7\% e 9\%), mas não muda drasticamente.
Resposta
Polos: s=-20 e s=-2\pm j\sqrt{6} (aproximadamente s=-2\pm j2,449). Zero: s=-18. Os polos complexos em s=-2\pm j2,449 são dominantes (parte real -2 vs -20 do polo rápido; razão ≈10), logo controlam o transiente.
Máxima ultrapassagem esperada para degrau: aproximadamente 7,7\%.