Um sistema elétrico é descrito pela equação diferencial abaixo. Calcule a resposta \mathrm{i}(\mathrm{t}) do sistema a um sinal de entrada v(t), usando para isso o método de resolução de equações diferenciais demonstrado em sala de aula, isto é, através soma da resposta homogênea i_{h}(t) e a resposta forçada \mathrm{i}_{\mathrm{f}}(\mathrm{t}).
i^{\prime \prime}(t)+\frac{R}{L} i^{\prime}(t)+\frac{1}{L C} i(t)=\frac{1}{L} v^{\prime}(t)
\mathrm{L}=0.5 \mathrm{H}
\mathrm{C}=14 \mathrm{mF}
\mathrm{i}(0)=0
\mathrm{i}^{\prime}(0)=10
\mathrm{R}=1000 \mathrm{~W}
C =14 \mathrm{mF}
v(t)=15 e^{-12 t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
i''(t)+\frac{R}{L}\,i'(t)+\frac{1}{LC}\,i(t)=\frac{1}{L}\,v'(t)
usando a decomposição
i(t)=i_h(t)+i_f(t),
onde i_h é a solução homogênea e i_f é uma particular forçada. Temos \displaystyle L=0,5\\ \mathrm{H}, \displaystyle C=14\times10^{-3}\\ \mathrm{F}, \displaystyle R=1000\\ \Omega,
condições iniciais \displaystyle i(0)=0, \displaystyle i'(0)=10 e entrada \displaystyle v(t)=15e^{-12t}.

Passo 2

Primeiro calculamos os coeficientes numéricos e o termo de forçamento.
\frac{R}{L}=\frac{1000}{0,5}=2000\quad,\quad \frac{1}{LC}=\frac{1}{0,5\cdot14\times10^{-3}}=\frac{1}{7\times10^{-3}}=142{,}857
e
v'(t)=-12\cdot15e^{-12t}=-180e^{-12t}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{L}v'(t)=-\frac{180}{0,5}e^{-12t}=-360e^{-12t}.
Logo a EDO fica
i''(t)+2000\,i'(t)+142{,}857\,i(t)=-360e^{-12t}.

Passo 3

A parte homogênea satisfaz
i_h''+2000\,i_h'+142{,}857\,i_h=0
com equação característica
s^2+2000\,s+142{,}857=0.
O discriminante é
\Delta=2000^2-4\cdot142{,}857=4\,000\,000-571{,}428=3\,999\,428
e as raízes são
s_{1,2}=\frac{-2000\pm\sqrt{3\,999\,428}}{2} \approx -0,07147,\;-1999,929.
Portanto
i_h(t)=A\,e^{-0,07147\,t}+B\,e^{-1999,929\,t}.

Passo 4

Procuramos uma solução particular da forma i_f(t)=K\,e^{-12t}. Substituindo em
i''+2000\,i'+142{,}857\,i=-360e^{-12t}
(144-24000+142{,}857)\,K\,e^{-12t}=-360\,e^{-12t} \quad\Longrightarrow\quad -23713{,}143\,K=-360
logo
K=\frac{360}{23713{,}143}\approx0{,}01518.
Assim
i_f(t)=0{,}01518\,e^{-12t}.

Passo 5

A solução geral é
i(t)=A\,e^{-0,07147\,t}+B\,e^{-1999,929\,t}+0{,}01518\,e^{-12t}.
Usamos i(0)=0 e i'(0)=10. Em t=0:
A+B+0{,}01518=0 \quad\Longrightarrow\quad A+B=-0{,}01518,
e
i'(t)=A(-0,07147)e^{-0,07147t}+B(-1999,929)e^{-1999,929t}-12\cdot0{,}01518e^{-12t},
em t=0:
-0{,}07147A-1999{,}929B-0{,}18216=10 \quad\Longrightarrow\quad -0{,}07147A-1999{,}929B=10{,}18216.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} A+B=-0{,}01518,\\\\ -0{,}07147A-1999{,}929B=10{,}18216, \end{cases}
obtém-se
A\approx -0{,}010089 \quad,\quad B\approx -0{,}005091.

Resposta

\boxed{ i(t)=-0,010089\,e^{-0,07147\,t} \;-\;0,005091\,e^{-1999,929\,t} \;+\;0,01518\,e^{-12t}. }

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