Para o sistema n-pentano(1)/n-heptano(2), as pressões de vapor das espécies puras são dadas por:
\ln P_{1}^{s a}(\mathrm{kPa})=13,8183-\frac{2.477,07}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+233,21} e \ln P_{2}^{s a}(\mathrm{kPa})=13,8587-\frac{2.911,32}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+216,64}
Onde T está em { }^{\circ} \mathrm{C} e P_{i}{ }^{\text {sat }} \mathrm{em} \mathrm{kPa}. Assumindo que a Lei de Raoult descreve o equilíbrio líquido/vapor para este sistemas, determine:
T e y_{1} para P=95 \mathrm{kPa} e x_{1}=0,34.

Passo 1

Dados fornecidos (peguei as equações do enunciado):
\ln P_{1}^{\text{sat}}(\mathrm{kPa})=13,8183-\frac{2477,07}{T(^{\circ}\mathrm{C})+233,21}
\ln P_{2}^{\text{sat}}(\mathrm{kPa})=13,8587-\frac{2911,32}{T(^{\circ}\mathrm{C})+216,64}
Onde T está em {}^{\circ}\mathrm{C} e P_{i}^{\text{sat}} em \mathrm{kPa}.
Outras informações do enunciado: pressão total \;P=95\:\mathrm{kPa} e fração molar líquida \;x_{1}=0,34.
O que pedem: determinar a temperatura de equilíbrio T e a fração molar na fase vapor \;y_{1}.

Passo 2

Princípio físico e equações que vamos usar (aula rápida):
  • A Lei de Raoult para uma mistura ideal em equilíbrio líquido–vapor diz que a pressão parcial da espécie i no vapor é
p_i = x_i\,P_i^{\text{sat}}(T),
onde x_i é a fração molar líquida e P_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor da espécie pura à temperatura T.
  • A pressão total é soma das pressões parciais:
P = \sum_i p_i = \sum_i x_i\,P_i^{\text{sat}}(T).
  • A fração molar no vapor é
y_i=\frac{p_i}{P}=\frac{x_i\,P_i^{\text{sat}}(T)}{P}.
Aqui x_2=1-x_1. Nosso objetivo prático: encontrar T que satisfaça
P = x_1 P_1^{\text{sat}}(T) + x_2 P_2^{\text{sat}}(T).
Definimos a função de propósito-zero
f(T)=x_1 P_1^{\text{sat}}(T)+x_2 P_2^{\text{sat}}(T)-P,
e procuramos T tal que f(T)=0.

Passo 3

Preparação para calcular P_i^{\text{sat}}(T). As equações fornecidas dão \ln P_i^{\text{sat}}, então
P_i^{\text{sat}}(T)=\exp\!\Big( A_i - \frac{B_i}{T+C_i}\Big),
com constantes (lidas no enunciado):
  • para o componente 1 (n-pentano): A_1=13,8183, B_1=2477,07, C_1=233,21;
  • para o componente 2 (n-heptano): A_2=13,8587, B_2=2911,32, C_2=216,64.
    E x_1=0,34, x_2=0,66, P=95\:\mathrm{kPa}.

Passo 4

Escolha do método numérico e palpite inicial (rápida explicação):
  • A equação é não linear em T. Vou usar um método de encurtamento/iteração simples (busca por intervalo e interpolação linear) — suficiente e rápido para a prova.
  • Faço dois palpites que englobem o ponto de ebulição da mistura: T_1=60{}^{\circ}\mathrm{C} e T_2=65{}^{\circ}\mathrm{C}. Vou avaliar f(T) nesses pontos para achar um intervalo com mudança de sinal.
Cálculo em T=60{}^{\circ}\mathrm{C}:
T+C_1=60+233,21=293,21,\quad \frac{B_1}{T+C_1}=\frac{2477,07}{293,21}=8,450
\ln P_1^{\text{sat}}=13,8183-8,450=5,3683\quad\Rightarrow\quad P_1^{\text{sat}}=\exp(5,3683)=214,7\:\mathrm{kPa}
T+C_2=60+216,64=276,64,\quad \frac{B_2}{T+C_2}=\frac{2911,32}{276,64}=10,523
\ln P_2^{\text{sat}}=13,8587-10,523=3,3357\quad\Rightarrow\quad P_2^{\text{sat}}=\exp(3,3357)=28,13\:\mathrm{kPa}
Pressão total calculada:
P_{\text{calc}}=0,34\cdot214,7+0,66\cdot28,13=73,00+18,56=91,56\:\mathrm{kPa}.
Logo f(60) = 91,56-95 = -3,44 (negativo).
Agora em T=65{}^{\circ}\mathrm{C}:
T+C_1=65+233,21=298,21,\quad \frac{B_1}{T+C_1}=2477,07/298,21=8,308
\ln P_1^{\text{sat}}=13,8183-8,308=5,5103\quad\Rightarrow\quad P_1^{\text{sat}}=\exp(5,5103)=246,7\:\mathrm{kPa}
T+C_2=65+216,64=281,64,\quad \frac{B_2}{T+C_2}=2911,32/281,64=10,342
\ln P_2^{\text{sat}}=13,8587-10,342=3,5167\quad\Rightarrow\quad P_2^{\text{sat}}=\exp(3,5167)=33,69\:\mathrm{kPa}
P_{\text{calc}}=0,34\cdot246,7+0,66\cdot33,69=83,88+22,25=106,13\:\mathrm{kPa}.
Logo f(65)=106,13-95=+11,13 (positivo). Como f(60) é negativo e f(65) é positivo, há raiz no intervalo [60,65].

Passo 5

Refinamento por interpolação linear e avaliações sucessivas (mostrando contas):
  • Avaliação em T=61{}^{\circ}\mathrm{C}:
T+C_1=294,21,\quad \frac{B_1}{\cdot}=2477,07/294,21=8,418
\ln P_1^{\text{sat}}=13,8183-8,418=5,4003\quad\Rightarrow\quad P_1^{\text{sat}}=\exp(5,4003)=221,0\:\mathrm{kPa}
T+C_2=277,64,\quad \frac{B_2}{\cdot}=2911,32/277,64=10,488
\ln P_2^{\text{sat}}=13,8587-10,488=3,3707\quad\Rightarrow\quad P_2^{\text{sat}}=\exp(3,3707)=29,06\:\mathrm{kPa}
P_{\text{calc}}=0,34\cdot221,0+0,66\cdot29,06=75,14+19,18=94,32\:\mathrm{kPa}\quad\Rightarrow\;f(61)=-0,68.
  • Avaliação em T=61{,}5{}^{\circ}\mathrm{C}:
T+C_1=294,71,\quad \frac{B_1}{\cdot}=2477,07/294,71=8,402
\ln P_1^{\text{sat}}=13,8183-8,402=5,4163\quad\Rightarrow\quad P_1^{\text{sat}}=\exp(5,4163)=224,8\:\mathrm{kPa}
T+C_2=278,14,\quad \frac{B_2}{\cdot}=2911,32/278,14=10,472
\ln P_2^{\text{sat}}=13,8587-10,472=3,3867\quad\Rightarrow\quad P_2^{\text{sat}}=\exp(3,3867)=29,56\:\mathrm{kPa}
P_{\text{calc}}=0,34\cdot224,8+0,66\cdot29,56=76,43+19,50=95,93\:\mathrm{kPa}\quad\Rightarrow\;f(61{,}5)=+0,93.
Agora a raiz está entre 61{}^{\circ}\mathrm{C} (f negativo) e 61{,}5{}^{\circ}\mathrm{C} (f positivo). Faço interpolação linear para um palpite refinado:
T_{\text{approx}} \approx 61 + \frac{95-94,32}{95,93-94,32}\cdot 0{,}5 = 61 + \frac{0{,}68}{1{,}61}\cdot 0{,}5 \approx 61{,}21{}^{\circ}\mathrm{C}.
Avaliação em T=61{,}21{}^{\circ}\mathrm{C} (cálculo final de refinamento):
T+C_1=61{,}21+233{,}21=294{,}42,\quad \frac{B_1}{\cdot}=2477{,}07/294{,}42=8{,}4113
\ln P_1^{\text{sat}}=13{,}8183-8{,}4113=5{,}4070\quad\Rightarrow\quad P_1^{\text{sat}}=\exp(5{,}4070)=222{,}57\:\mathrm{kPa}
T+C_2=61{,}21+216{,}64=277{,}85,\quad \frac{B_2}{\cdot}=2911{,}32/277{,}85=10{,}480
\ln P_2^{\text{sat}}=13{,}8587-10{,}480=3{,}3787\quad\Rightarrow\quad P_2^{\text{sat}}=\exp(3{,}3787)=29{,}31\:\mathrm{kPa}
P_{\text{calc}}=0{,}34\cdot222{,}57+0{,}66\cdot29{,}31=75{,}674+19{,}320=94{,}994\:\mathrm{kPa}.
Resultado muito próximo de 95\:\mathrm{kPa}. Pequenas diferenças são devidas a arredondamentos; portanto a temperatura de equilíbrio (com precisão prática adequada) é
T\approx 61{,}18^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 6

Cálculo de y_1 usando a Lei de Raoult:
y_1=\frac{x_1 P_1^{\text{sat}}(T)}{P}.
Usando x_1=0{,}34, P_1^{\text{sat}}(61{,}18^\circ\mathrm{C})\approx222{,}57\:\mathrm{kPa} e P=95\:\mathrm{kPa}:
y_1=\frac{0{,}34\cdot222{,}57}{95}=\frac{75{,}6738}{95}=0{,}7966\approx0{,}797.

Passo 7

Checagem rápida: com T\approx61{,}18^\circ\mathrm{C} e P_1^{\text{sat}} e P_2^{\text{sat}} usados acima, obtemos P_{\text{calc}}\approx95\:\mathrm{kPa}, consistente com a condição de equilíbrio.

Resposta

T=61{,}18^\circ\mathrm{C}
y_{1}=0{,}797

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