Para o sistema n-pentano(1)/n-heptano(2), as pressões de vapor das espécies puras são dadas por:
\ln P_{1}^{s a}(\mathrm{kPa})=13,8183-\frac{2.477,07}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+233,21} e \ln P_{2}^{s a}(\mathrm{kPa})=13,8587-\frac{2.911,32}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+216,64}
Onde T está em { }^{\circ} \mathrm{C} e P_{i}{ }^{\text {sat }} \mathrm{em} \mathrm{kPa}. Assumindo que a Lei de Raoult descreve o equilíbrio líquido/vapor para este sistemas, determine:
P e y_{1} para T=63^{\circ} \mathrm{C} e x_{1}=0,44.

Passo 1

O enunciado pede que, para o sistema n-pentano (1) / n-heptano (2), com as pressões de vapor das espécies puras dadas por
\ln P_{1}^{\text{sat}}(\text{kPa})=13,8183-\frac{2.477,07}{t(^{\circ}\text{C})+233,21}
\ln P_{2}^{\text{sat}}(\text{kPa})=13,8587-\frac{2.911,32}{t(^{\circ}\text{C})+216,64}
e assumindo que a Lei de Raoult descreve o equilíbrio líquido-vapor, devemos determinar:
  • a pressão total P do vapor sobre a mistura a t=63^\circ\text{C} quando x_{1}=0,44;
  • a fração molar na fase vapor y_{1} (do componente 1) nas mesmas condições.
Informações dadas:
  • Temperatura: t=63^\circ\text{C}.
  • Fração molar líquida do componente 1: x_{1}=0,44. Logo x_{2}=1-x_{1}=0,56.
  • Fórmulas das pressões de vapor de cada componente em kPa (as fórmulas fornecem \ln P_{i}^{\text{sat}}).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  1. Lei de Raoult (para soluções ideais): A pressão total do vapor sobre uma mistura binária responde
P = x_{1}P_{1}^{\text{sat}} + x_{2}P_{2}^{\text{sat}},
onde:
  • \;P é a pressão total do vapor (kPa),
  • \;x_{i} é a fração molar do componente i na fase líquida (adimensional),
  • \;P_{i}^{\text{sat}} é a pressão de vapor do componente i puro à temperatura dada (kPa).
  1. Fração molar na fase vapor (definição usando pressões parciais):
y_{1}=\frac{p_{1}}{P}=\frac{x_{1}P_{1}^{\text{sat}}}{P},
onde p_{1}=x_{1}P_{1}^{\text{sat}} é a pressão parcial do componente 1.
  1. Como obter P_{i}^{\text{sat}} a partir das fórmulas: as equações fornecidas dão \ln P_{i}^{\text{sat}}. Assim, para cada componente:
P_{i}^{\text{sat}}=\exp\bigl(\ln P_{i}^{\text{sat}}\bigr).
Aqui \exp é a função exponencial (inversa do logaritmo natural).
Explicação didática rápida sobre a equação do enunciado: as duas fórmulas são do tipo de Antoine (ou forma similar), que correlaciona a pressão de vapor com a temperatura. Recebemos \ln P, então calculamos o valor numérico de \ln P substituindo t e depois aplicamos exponencial para obter P em kPa.

Passo 3

Cálculo de \;P_{1}^{\text{sat}} (n-pentano) a t=63^\circ\text{C}.
Substituímos t=63 na expressão dada:
\ln P_{1}^{\text{sat}}=13,8183-\frac{2.477,07}{63+233,21}.
Calculemos o denominador:
63+233,21=296,21.
Agora a divisão:
\frac{2.477,07}{296,21}\approx 8,363\quad(\text{aproximação numérica}).çãé
Portanto
\ln P_{1}^{\text{sat}}\approx 13,8183-8,363=5,4553.
Aplicando exponencial para obter P_{1}^{\text{sat}}:
P_{1}^{\text{sat}}=\exp(5,4553)\approx 233,8\\ \text{kPa}.
Breve comentário: multiplicando e^{5}\approx148,413 por e^{0,4553}\approx1,576 dá aproximadamente 233,8, que é o valor acima.

Passo 4

Cálculo de \;P_{2}^{\text{sat}} (n-heptano) a t=63^\circ\text{C}.
Substituímos t=63 na expressão dada:
\ln P_{2}^{\text{sat}}=13,8587-\frac{2.911,32}{63+216,64}.
Calculemos o denominador:
63+216,64=279,64.
Agora a divisão:
\frac{2.911,32}{279,64}\approx 10,411.
Portanto
\ln P_{2}^{\text{sat}}\approx 13,8587-10,411=3,4477.
Aplicando exponencial para obter P_{2}^{\text{sat}}:
P_{2}^{\text{sat}}=\exp(3,4477)\approx 31,44\\ \text{kPa}.
Comentário: e^{3}\approx20,085 e e^{0,4477}\approx1,565, multiplicando dá \approx31,44 kPa.

Passo 5

Cálculo da pressão total P pela Lei de Raoult.
Usamos
P = x_{1}P_{1}^{\text{sat}} + x_{2}P_{2}^{\text{sat}}
com x_{1}=0,44, x_{2}=0,56, P_{1}^{\text{sat}}\approx 233,8\\ \text{kPa} e P_{2}^{\text{sat}}\approx 31,44\\ \text{kPa}.
Calculemos as contribuições:
x_{1}P_{1}^{\text{sat}}=0,44\times 233,8 \approx 102,872\\ \text{kPa},
x_{2}P_{2}^{\text{sat}}=0,56\times 31,44 \approx 17,6064\\ \text{kPa}.
Somando:
P \approx 102,872 + 17,6064 = 120,4784\\ \text{kPa}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
P \approx 120,48\\ \text{kPa}.

Passo 6

Cálculo de \;y_{1} (fração molar do componente 1 na fase vapor).
Usamos
y_{1}=\frac{x_{1}P_{1}^{\text{sat}}}{P}.
Substituindo os valores numéricos:
y_{1}\approx\frac{0,44\times 233,8}{120,4784}=\frac{102,872}{120,4784}\approx 0,8539.
Arredondando de forma usual (três casas significativas ou duas decimais conforme preferência), temos
y_{1}\approx 0,854.
Interpretação curta (motivacional): o vapor está muito enriquecido em n-pentano ( y_{1}\approx0,854) porque n-pentano tem pressão de vapor bem maior que n-heptano à mesma temperatura (é mais volátil).

Resposta

P=120,48\\ \text{kPa}
y_{1}=0,854

Exercícios relacionados