Uma bomba de calor ar-água opera em regime permanente para aquecer água de circulação predial. A água escoa a 0,20 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, entrando a 30^{\circ} \mathrm{C} e saindo a 45^{\circ} \mathrm{C}. A potência elétrica do compressor medida em wattímetro é 1,2 \mathrm{~kW}. Considere como reservatórios efetivos o ar externo a 5^{\circ} \mathrm{C} (evaporador) e a serpentina de água a 45^{\circ} \mathrm{C} (condensador). Determine se esse ciclo é fisicamente possível. Caso não seja, indique o motivo e calcule a potência elétrica mínima que tornaria o ciclo compatível com o limite de Carnot entre esses dois reservatórios.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o ciclo da bomba de calor é fisicamente possível e, se não for, indicar o motivo e calcular a potência elétrica mínima que tornaria o ciclo compatível com o limite de Carnot entre os dois reservatórios. Dados fornecidos:
\dot m=0{,}20\\ \mathrm{kg/s} (vazão mássica da água), temperatura de entrada da água 30^\circ\mathrm{C} e de saída 45^\circ\mathrm{C}, potência elétrica medida do compressor \dot W_{\text{med}}=1{,}2\\ \mathrm{kW}. Reservatórios efetivos: ar externo a 5^\circ\mathrm{C} (evaporador) e serpentina de água a 45^\circ\mathrm{C} (condensador).
Nada mais é pedido além de decidir se o ciclo é possível e, se não, calcular a potência elétrica mínima compatível com Carnot.

Passo 2

Calcular a taxa de calor fornecida à água: aplicamos a primeira lei na serpentina (regime permanente, sem trabalho sobre o fluido além do transporte da água):
\dot Q_H=\dot m\,c_p\,(T_{\text{out}}-T_{\text{in}}).
Aqui cada símbolo significa:
\dot Q_H = potência térmica cedida à água (W),
\dot m = vazão mássica da água (kg/s),
c_p = calor específico da água (J/kg·K),
T_{\text{out}},T_{\text{in}} = temperaturas de saída e entrada da água (°C ou K, a diferença é a mesma).
Adotamos o valor típico c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (água líquida, aproximado e geralmente usado em exercícios). Substituindo:
\dot Q_H=0{,}20\cdot 4180\cdot(45-30)=0{,}20\cdot 4180\cdot 15.
Calculemos:
4180\cdot 15=62700,
\dot Q_H=0{,}20\cdot 62700=12540\\ \mathrm{W}=12{,}54\\ \mathrm{kW}.

Passo 3

Relacionamento energetico da bomba de calor: a energia térmica cedida ao reservatório quente vem do trabalho elétrico mais o calor extraído do reservatório frio:
\dot Q_H=\dot W_{\text{in}}+\dot Q_C.
Definimos o coeficiente de desempenho (COP) da bomba de calor que entrega calor ao reservatório quente:
\text{COP}=\frac{\dot Q_H}{\dot W_{\text{in}}}.
Com a potência elétrica medida \dot W_{\text{med}}=1{,}2\\ \mathrm{kW} obtemos o COP real do sistema:
\text{COP}_{\text{real}}=\frac{12{,}54}{1{,}2}=10{,}45.
Interpretação: o dispositivo está entregando 12{,}54\\ \mathrm{kW} de calor ao circuito de água com apenas 1{,}2\\ \mathrm{kW} de entrada elétrica, o que corresponderia a \text{COP}=10{,}45.

Passo 4

Agora verificamos o limite de Carnot para uma bomba de calor entre os dois reservatórios. Para uma máquina de Carnot atuando como bomba de calor (entregando calor ao reservatório quente) o COP máximo teórico é
\text{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_h}{T_h-T_c},
onde T_h e T_c são as temperaturas absolutas (Kelvin) do reservatório quente e frio, respectivamente. Convertendo temperaturas dadas em Celsius para Kelvin:
T_c=5^\circ\mathrm{C}+273{,}15=278{,}15\\ \mathrm{K},
T_h=45^\circ\mathrm{C}+273{,}15=318{,}15\\ \mathrm{K}.
Logo
\text{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{318{,}15}{318{,}15-278{,}15}=\frac{318{,}15}{40}=7{,}95375\approx 7{,}95.

Passo 5

Comparação entre o COP real e o limite de Carnot:
\text{COP}_{\text{real}}=10{,}45\quad\text{e}\quad \text{COP}_{\text{Carnot}}\approx 7{,}95.
Como \text{COP}_{\text{real}}>\text{COP}_{\text{Carnot}}, o desempenho declarado viola o limite de Carnot (segunda lei da termodinâmica) — ou seja, é fisicamente impossível que uma bomba de calor real ultrapasse o COP de Carnot entre esses dois reservatórios.

Passo 6

Calcular a potência elétrica mínima compatível com o limite de Carnot: para que o ciclo seja, no máximo, reversível, a menor potência elétrica necessária é aquela que torna o COP igual ao \text{COP}_{\text{Carnot}}. Assim
\dot W_{\min}=\frac{\dot Q_H}{\text{COP}_{\text{Carnot}}}.
Substituindo valores:
\dot W_{\min}=\frac{12{,}54\\ \mathrm{kW}}{7{,}95375}=1{,}5769\\ \mathrm{kW}\approx 1{,}58\\ \mathrm{kW}.
Isso significa que a potência elétrica medida ( 1{,}20\\ \mathrm{kW}) é menor que a mínima possível para um ciclo compatível com Carnot; portanto o dado é inconsistente com a segunda lei.

Resposta

Não é fisicamente possível: \text{COP}_{\text{real}}=10{,}45>\text{COP}_{\text{Carnot}}\approx 7{,}95.\n
Potência elétrica mínima compatível com Carnot: \dot W_{\min}\approx 1{,}58\\ \mathrm{kW}.

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