Para o sistema n-pentano(1)/n-heptano(2), as pressões de vapor das espécies puras são dadas por:
\ln P_{1}^{s a}(\mathrm{kPa})=13,8183-\frac{2.477,07}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+233,21} e \ln P_{2}^{s a}(\mathrm{kPa})=13,8587-\frac{2.911,32}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+216,64}
Onde T está em { }^{\circ} \mathrm{C} e P_{i}{ }^{\text {sat }} \mathrm{em} \mathrm{kPa}. Assumindo que a Lei de Raoult descreve o equilíbrio líquido/vapor para este sistemas, determine:
A fração do sistema que é líquida, x_{1} e y_{1} a 60^{\circ} \mathrm{C} e 115 kPa , quando a composição global do sistema é 60 \% (base molar) de n-pentano (problema do flash).

Passo 1

O enunciado pede que, para o sistema n-pentano (componente 1) / n-heptano (componente 2) à temperatura 60^\circ\mathrm{C} e pressão total 115\\ \mathrm{kPa}, com composição global (feed) z_1=0{,}60 (fração molar de n-pentano), eu determine:
  • a fração do sistema que é líquida (ou seja, L, fração molar líquida do total);
  • a fração molar do n-pentano na fase líquida, x_1;
  • a fração molar do n-pentano na fase vapor, y_1.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
\ln P_{1}^{\mathrm{sat}}(\mathrm{kPa})=13{,}8183-\frac{2\,477{,}07}{t\left(^{\circ}\mathrm{C}\right)+233{,}21},
\ln P_{2}^{\mathrm{sat}}(\mathrm{kPa})=13{,}8587-\frac{2\,911{,}32}{t\left(^{\circ}\mathrm{C}\right)+216{,}64}.
Dados numéricos específicos:
T=60^\circ\mathrm{C},\qquad P_\text{total}=115\\ \mathrm{kPa},\qquad z_1=0{,}60,\qquad z_2=0{,}40.

Passo 2

Calcular as pressões de vapor das espécies puras à 60^\circ\mathrm{C}. Aqui usamos as equações dadas (tipo Antoine em forma logarítmica). Para cada componente primeiro calculo o denominador, depois a razão e finalmente exponencio para obter P_i^{\mathrm{sat}}.
Para o componente 1:
t+233{,}21=60+233{,}21=293{,}21
\ln P_{1}^{\mathrm{sat}}=13{,}8183-\frac{2\,477{,}07}{293{,}21}=13{,}8183-8{,}4479=5{,}3704
P_{1}^{\mathrm{sat}}=\exp(5{,}3704)=214{,}89\\ \mathrm{kPa}.
Explicação didática: a equação dá \ln P^{\mathrm{sat}}; para voltar à P^{\mathrm{sat}} aplicamos a função exponencial. O número 293{,}21 é a soma de t com a constante fornecida; a divisão dá o termo subtraído de 13{,}8183.
Para o componente 2:
t+216{,}64=60+216{,}64=276{,}64
\ln P_{2}^{\mathrm{sat}}=13{,}8587-\frac{2\,911{,}32}{276{,}64}=13{,}8587-10{,}5240=3{,}3347
P_{2}^{\mathrm{sat}}=\exp(3{,}3347)=28{,}06\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Calcular os fatores de equilíbrio (constantes de fase) K_i assumindo Lei de Raoult e vapor ideal. Definição e significado: para misturas ideais com Lei de Raoult, a relação entre as frações molares é
y_i = K_i x_i,\qquad K_i=\frac{P_i^{\mathrm{sat}}}{P_\text{total}}.
Ou seja, K_i indica o quanto o componente prefere a fase vapor ( K_i>1) ou a fase líquida ( K_i<1) nas condições dadas.
Calculemos:
K_1=\frac{P_{1}^{\mathrm{sat}}}{P}= \frac{214{,}89}{115}=1{,}8682
K_2=\frac{P_{2}^{\mathrm{sat}}}{P}= \frac{28{,}06}{115}=0{,}2440

Passo 4

Montar o balanço de matéria global e a equação para encontrar a fração vapor V (ou fração líquida L=1-V). Raciocínio e derivação passo a passo:
Balanço global para o componente 1:
z_1 = L x_1 + V y_1.
Usando y_1=K_1 x_1 e L+V=1 obtemos
z_1 = x_1 \bigl(L+V K_1\bigr).
Assim
x_1=\frac{z_1}{L+V K_1}.
Mas L e V são desconhecidos; a maneira mais direta para encontrar V é usar o método de Rachford–Rice que combina os balanços de todos os componentes numa única equação para V:
\sum_{i} \frac{z_i (K_i-1)}{1+V(K_i-1)} = 0.
No caso binário:
\frac{z_1 (K_1-1)}{1+V(K_1-1)}+\frac{z_2 (K_2-1)}{1+V(K_2-1)}=0.
Agora substituo números (já computados):
K_1-1=0{,}8682,\qquad K_2-1=-0{,}75596,
z_1=0{,}60,\qquad z_2=0{,}40.
Escrevendo a equação:
\frac{0{,}60\cdot 0{,}8682}{1+0{,}8682\,V}+\frac{0{,}40\cdot(-0{,}75596)}{1-0{,}75596\,V}=0.

Passo 5

Resolver a equação de Rachford–Rice para V. Faço multiplicação cruzada para obter uma equação linear em V (no caso binário isso simplifica bem):
Defino os produtos:
A=0{,}60\cdot 0{,}8682=0{,}52091,\qquad B=0{,}40\cdot(-0{,}75596)=-0{,}30239.
A equação é
\frac{A}{1+0{,}8682V}+\frac{B}{1-0{,}75596V}=0.
Multiplicando ambos os lados pelos denominadores:
A(1-0{,}75596V)= -B(1+0{,}8682V).
Desenvolvendo:
A - A\cdot 0{,}75596\,V = -B - B\cdot 0{,}8682\,V.
Coloco os termos em V de um lado e constantes do outro:
A + B = V\,(A\cdot 0{,}75596 - B\cdot 0{,}8682).
Substituindo números:
0{,}52091 - 0{,}30239 = V\,(0{,}52091\cdot 0{,}75596 + 0{,}30239\cdot 0{,}8682).
Nota: no passo acima converti o sinal corretamente (repare que B é negativo). Calculando cada termo:
0{,}21852 = V\cdot 0{,}65605.
Logo
V=\frac{0{,}21852}{0{,}65605}=0{,}33314.
Portanto a fração vapor é V=0{,}33314 e a fração líquida é
L=1-V=1-0{,}33314=0{,}66686.

Passo 6

Calcular x_1 e y_1 a partir de V e das relações anteriores. Usando
x_1=\frac{z_1}{L+V K_1},
substituo L=0{,}66686, V=0{,}33314 e K_1=1{,}8682:
L+V K_1=0{,}66686+0{,}33314\cdot 1{,}8682=1{,}28919,
x_1=\frac{0{,}60}{1{,}28919}=0{,}46550.
Depois
y_1=K_1 x_1=1{,}8682\cdot 0{,}46550=0{,}86979.

Passo 7

Verificação rápida de consistência (checagem econômico): balanço do componente 1:
L x_1 + V y_1 = 0{,}66686\cdot 0{,}46550 + 0{,}33314\cdot 0{,}86979
=0{,}31020+0{,}28980=0{,}60000\approx z_1,
ou seja, volta ao valor do feed z_1, indicando que os cálculos estão consistentes.

Resposta

L=0{,}66686
x_1=0{,}46550
y_1=0{,}86979

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