1{ }^{\mathrm{a}} QUESTÃO ( 2,5 pontos)

Uma corrente de propano no estado gasoso, a 20 bar e 600 K , é estrangulada em estado estacionário para 1 bar. Estime a temperatura final do processo e a sua variação de entropia.

Passo 1

O enunciado dá uma corrente de propano gasoso nas condições iniciais P_1=20\\ \mathrm{bar} e T_1=600\\ \mathrm{K}. A corrente é estrangulada (throttling) em regime estacionário até a pressão final P_2=1\\ \mathrm{bar}. Perguntas pedidas:
  1. Estime a temperatura final do processo.
  2. Estime a variação de entropia do fluido entre o estado inicial e o final, \Delta s = s_2-s_1.
Informações relevantes fornecidas: P_1=20\\ \mathrm{bar}, T_1=600\\ \mathrm{K}, P_2=1\\ \mathrm{bar}. Nada mais foi dado (por exemplo, tabelas de propriedades), então teremos que adotar uma aproximação justificável para estimar as grandezas pedidas.

Passo 2

Identificar a característica do processo (física útil para a resolução). Um estrangulamento (válvula de Joule-Thomson) é um processo de escoamento estacionário, adiabático, sem trabalho de eixo, e em que não há troca de energia potencial/ cinética significativa — portanto, para o fluido que atravessa o estrangulador, a propriedade que permanece (aproximadamente) constante é a entalpia específica h. Assim:
h_1 = h_2.
Explicação curta e didática: a equação de energia para escoamento estacionário com as hipóteses acima reduz-se a conservação de entalpia por unidade de massa. É por isso que o estrangulamento é chamado de processo isenthaĺpico.

Passo 3

Escolher uma aproximação prática para encontrar T_2. Para determinar T_2 a partir de h_1=h_2 precisamos da dependência de h com T e P. Sem tabelas, duas alternativas comuns:
  • Tratar o propano como gás ideal: para gás ideal a entalpia específica h depende somente de T, isto é h=h(T). Então h_1=h_2 implica T_1=T_2. Essa é a aproximação mais simples e muitas vezes razoável quando a temperatura é relativamente alta (o comportamento aproxima-se do ideal) e não temos tabelas.
  • Usar comportamento real (coeficiente de Joule–Thomson ou tabelas) para avaliar pequena variação de T. Isso exige dados experimentais ou um EOS (não fornecidos no enunciado).
Seguiremos a aproximação do gás ideal por praticidade e porque o enunciado pede uma estimativa sem fornecer dados adicionais. Vou justificar e mostrar a consequência prática.

Passo 4

Aplicando a aproximação de gás ideal: como para gás ideal h=h(T), a condição isenthaĺpica dá diretamente
T_2 = T_1 = 600\\ \mathrm{K}.
Comentário didático curto: isso significa que, sob a hipótese de gás ideal, o estrangulamento não muda a temperatura. Na realidade, para um gás real pode ocorrer um ligeiro aquecimento ou resfriamento (dependendo do sinal do coeficiente de Joule–Thomson), mas a 600 K e com os dados ausentes, a hipótese ideal é uma estimativa prática razoável. Se você quiser uma correção realista precisaria de tabelas de entalpia de propano ou de um EOS.

Passo 5

Agora vamos estimar a variação de entropia \Delta s = s_2-s_1. Para uma substância em comportamento de gás ideal, a variação de entropia entre dois estados (T_1,P_1) e (T_2,P_2) pode ser escrita como
\Delta s = \int_{T_1}^{T_2} \frac{c_p(T)}{T}\,dT - R \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right),
onde c_p(T) é a capacidade calorífica a pressão constante por unidade de massa e R é a constante específica do gás. Explicando cada termo: o primeiro termo é a contribuição devido à mudança de temperatura (energia interna/entalpia dependente de T), o segundo termo surge da dependência de entropia com a pressão para gás ideal.

Passo 6

Aplicamos a expressão ao nosso caso e usamos o resultado do Passo 4 ( T_2=T_1). Então o integral do primeiro termo é nulo, pois não há variação de temperatura:
\int_{T_1}^{T_2} \frac{c_p(T)}{T}\,dT = 0.
Portanto:
\Delta s = - R \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = R \ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right).
Aqui R é a constante dos gases por unidade de massa para o propano. Vamos calcular numericamente.

Passo 7

Calcular R específico do propano. A constante universal é R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}. A massa molar do propano é M=44{,}097\\ \mathrm{g\,mol^{-1}} = 0{,}044097\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}. Então a constante específica é
R = \frac{R_u}{M} = \frac{8{,}314462618}{0{,}044097}\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}} \approx 188{,}53\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}.
Expliquei: dividimos a constante universal pela massa molar para obter R em \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}, que é a unidade compatível com entropia específica por quilograma.

Passo 8

Calcular o logaritmo. A razão de pressões é \dfrac{P_1}{P_2}=\dfrac{20}{1}=20. Logo
\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right)=\ln(20)\approx 2{,}995732.
Multiplicando:
\Delta s = R \ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right) \approx 188{,}53 \times 2{,}995732 \approx 564{,}8\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}.
Arredondando razoavelmente, podemos escrever \Delta s \approx 565\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}.
Comentário físico curto: \Delta s>0 como esperado — o estrangulamento é um processo irreversível e a entropia do fluido aumenta. No cálculo com gás ideal isso aparece puramente pela queda de pressão.

Passo 9

Verificação qualitativa sobre a hipótese: se considerássemos efeitos reais do propano, o processo permanece aproximadamente isenthaĺpico, mas h(T,P) teria dependência em P e então T_2 poderia ser ligeiramente diferente de 600\\ \mathrm{K}. Contudo, a 600 K (bem acima da temperatura crítica T_c\approx 369{,}8\\ \mathrm{K}) o comportamento tende a se aproximar do ideal, então a estimativa T_2\approx600\\ \mathrm{K} é plausível. A incerteza real seria tipicamente algumas dezenas de K no pior caso se a compressibilidade for grande, mas sem tabelas não dá pra afinar mais. A estimativa da variação de entropia com gás ideal é robusta para um cálculo de ordem de grandeza.

Resposta

T_2 \approx 600\\ \mathrm{K}
\Delta s = s_2-s_1 \approx 565\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}

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