Para o sistema n-pentano(1)/n-heptano(2), as pressões de vapor das espécies puras são dadas por:
\ln P_{1}^{s a}(\mathrm{kPa})=13,8183-\frac{2.477,07}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+233,21} e \ln P_{2}^{s a}(\mathrm{kPa})=13,8587-\frac{2.911,32}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+216,64}
Onde T está em { }^{\circ} \mathrm{C} e P_{i}{ }^{\text {sat }} \mathrm{em} \mathrm{kPa}. Assumindo que a Lei de Raoult descreve o equilíbrio líquido/vapor para este sistemas, determine:
A fração do sistema que é líquida, x_{1} e y_{1} a 60^{\circ} \mathrm{C} e 115 kPa , quando a composição global do sistema é equimolar (problema do flash).

Passo 1

O enunciado pede três coisas no estado de equilíbrio líquido–vapor, para o sistema n-pentano (componente 1) / n-heptano (componente 2), à temperatura 60^\circ\mathrm{C} e pressão total 115\\ \mathrm{kPa}, quando a composição global é equimolar:
  1. A fração do sistema que é líquida (ou seja, L/F, onde F é a alimentação total e L a fração líquida);
  2. A fração molar de n-pentano na fase líquida, x_{1};
  3. A fração molar de n-pentano na fase vapor, y_{1}.
Informações dadas (peguei as expressões diretamente do enunciado):
\ln P_{1}^{\text{sat}}(\mathrm{kPa})=13{,}8183-\frac{2477{,}07}{t(^{\circ}\mathrm{C})+233{,}21}
\ln P_{2}^{\text{sat}}(\mathrm{kPa})=13{,}8587-\frac{2911{,}32}{t(^{\circ}\mathrm{C})+216{,}64}
Temperatura: t=60^\circ\mathrm{C}. Pressão total: P=115\\ \mathrm{kPa}. Composição global: z_{1}=0{,}5, z_{2}=0{,}5.

Passo 2

Calcular as pressões de vapor das espécies puras à temperatura dada usando as equações fornecidas.
Para o componente 1 (n-pentano), substituímos t=60:
\ln P_{1}^{\text{sat}} = 13{,}8183 - \frac{2477{,}07}{60 + 233{,}21} = 13{,}8183 - \frac{2477{,}07}{293{,}21}.
Calculemos a fração:
\frac{2477{,}07}{293{,}21}\approx 8{,}4481,
logo
\ln P_{1}^{\text{sat}} \approx 13{,}8183 - 8{,}4481 = 5{,}3702.
Portanto
P_{1}^{\text{sat}} = \exp(5{,}3702)\\ \mathrm{kPa}\approx 214{,}8\\ \mathrm{kPa}.
Para o componente 2 (n-heptano), substituímos t=60:
\ln P_{2}^{\text{sat}} = 13{,}8587 - \frac{2911{,}32}{60 + 216{,}64} = 13{,}8587 - \frac{2911{,}32}{276{,}64}.
Calculemos a fração:
\frac{2911{,}32}{276{,}64}\approx 10{,}524,
logo
\ln P_{2}^{\text{sat}} \approx 13{,}8587 - 10{,}524 = 3{,}3347.
Portanto
P_{2}^{\text{sat}} = \exp(3{,}3347)\\ \mathrm{kPa}\approx 28{,}06\\ \mathrm{kPa}.
Comentário rápido (intuição): P_{1}^{\text{sat}} é bem maior que P_{2}^{\text{sat}}, então o componente 1 (n-pentano) é muito mais volátil — faz sentido físico.

Passo 3

Apresentar a lei de Raoult e definir constantes de equilíbrio usadas.
Lei de Raoult (assumida no enunciado): para cada componente i,
p_i = x_i\,P_i^{\text{sat}}(T),
onde p_i é a pressão parcial do componente i na fase vapor, x_i é a fração molar na fase líquida e P_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor do líquido puro à temperatura T.
A fração molar na fase vapor é
y_i = \frac{p_i}{P} = \frac{x_i P_i^{\text{sat}}}{P}.
Definimos a constante de equilíbrio
K_i \equiv \frac{y_i}{x_i} = \frac{P_i^{\text{sat}}}{P}.
Com os valores calculados e P=115\\ \mathrm{kPa}:
K_{1}=\frac{P_{1}^{\text{sat}}}{P}\approx \frac{214{,}8}{115}\approx 1{,}868, \qquad K_{2}=\frac{P_{2}^{\text{sat}}}{P}\approx \frac{28{,}06}{115}\approx 0{,}244.

Passo 4

Montar o balanço de matéria (equilíbrio global) e obter a equação para a fração de vapor V/F (usarei V para V/F, a fração vapor da alimentação).
Balanço para o componente 1:
z_1 = (1-V)\,x_1 + V\,y_1.
Usando y_1 = K_1 x_1, obtemos
z_1 = x_1\bigl(1 - V + V K_1\bigr).
Logo
x_1 = \frac{z_1}{1 - V + V K_1}.
De forma equivalente, a equação de Rachford–Rice (mais geral, soma sobre todos os componentes) é
\sum_{i} \frac{z_i(K_i-1)}{1 + V (K_i-1)} = 0.
Para dois componentes isto reduz a uma equação em V que podemos resolver explicitamente.

Passo 5

Aplicar a equação de Rachford–Rice ao caso binário com z_1=z_2=0{,}5.
A equação é
\frac{0{,}5(K_1-1)}{1 + V(K_1-1)} + \frac{0{,}5(K_2-1)}{1 + V(K_2-1)} = 0.
Substituindo K_1\approx 1{,}868 e K_2\approx 0{,}244
\frac{0{,}5(1{,}868-1)}{1 + 0{,}868\,V} + \frac{0{,}5(0{,}244-1)}{1 - 0{,}756\,V} = 0.
Numérica e passo a passo:
\frac{0{,}434}{1 + 0{,}868\,V} - \frac{0{,}378}{1 - 0{,}756\,V} = 0.
Multiplicando ambos os lados pelos denominadores (para facilitar, resolvemos como equação linear em V):
0{,}434(1 - 0{,}756V) - 0{,}378(1 + 0{,}868V) = 0.
Expandindo:
0{,}434 - 0{,}434\cdot 0{,}756\,V - 0{,}378} - 0{,}378\cdot 0{,}868\,V = 0.
Agrupando termos constantes e os que multiplicam V:
(0{,}434 - 0{,}378) - V\bigl(0{,}434\cdot 0{,}756 + 0{,}378\cdot 0{,}868\bigr) = 0.
Calculando os coeficientes:
0{,}056 - V(0{,}3280 + 0{,}3281) \approx 0{,}056 - 0{,}6561\,V = 0.
Portanto
V \approx \frac{0{,}056}{0{,}6561} \approx 0{,}0854.
Isso significa que a fração vapor da alimentação é V\approx 0{,}0854. A fração líquida é
\frac{L}{F} = 1 - V \approx 1 - 0{,}0854 = 0{,}9146.

Passo 6

Calcular x_{1} e y_{1} usando V encontrado.
Usamos
x_1 = \frac{z_1}{1 - V + V K_1}.
Substituindo valores:
1 - V + V K_1 = 1 - 0{,}0854 + 0{,}0854\cdot 1{,}868 \approx 0{,}9146 + 0{,}1595 = 1{,}0741.
Então
x_1 \approx \frac{0{,}5}{1{,}0741} \approx 0{,}4657.
Agora
y_1 = K_1\,x_1 \approx 1{,}868\cdot 0{,}4657 \approx 0{,}8699.
Verificação rápida do balanço (sanity check):
(1-V)x_1 + V y_1 \approx 0{,}9146\cdot 0{,}4657 + 0{,}0854\cdot 0{,}8699 \approx 0{,}4258 + 0{,}0742 = 0{,}5000 \approx z_1,
ok.

Resposta

\displaystyle \frac{L}{F}\approx 0{,}9146
\displaystyle x_{1}\approx 0{,}4657
\displaystyle y_{1}\approx 0{,}8699

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