Para o sistema n-pentanol (1)/ n-hexano (2) as constantes da equaçio do Margulles săo \mathrm{A}_{12}= 0,0700 e \Lambda_{21}=0,629. Admitindo que a fase vapor é ideal, determine a energia de Gibbs em excesso ( \mathrm{J} / \mathrm{mol} ), a pressito e a composiço do vapor em equilibrio com uma mistura liquida com 20 \% \mathrm{~mol} de n-pentimol a 30^{\circ} \mathrm{C}. A esta temperatura, \mathrm{P}_{1}^{\text {Sat }}=431 \mathrm{~Pa} e \mathrm{P}_{2}^{\mathrm{Sat}}=24945 \mathrm{~Pa}.

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede e o que foi dado):\n
  • Pede-se a energia de Gibbs em excesso por mol, a pressão total e a composição da fase vapor em equilíbrio com a mistura líquida.\n
  • Composição líquida dada: \,x_1=0,20 (n-pentanol), \,x_2=0,80 (n-hexano).\n
  • Temperatura: \,30^\circ\mathrm{C} (ou \,T=303{,}15\\ \mathrm{K}).\n
  • Pressões de vapor saturado fornecidas: \,P_1^{\text{Sat}}=431\\ \mathrm{Pa} e \,P_2^{\text{Sat}}=24945\\ \mathrm{Pa} (dados do enunciado).\n
  • Constantes fornecidas para a equação de Margules: \,A_{12}=0,0700 e \,\Lambda_{21}=0,629 (estas são as constantes indicadas no enunciado).\n
  • Suposição adicional (dada no enunciado): a fase vapor é ideal.\n
  • O problema exige calcular:\n
    1. energia de Gibbs em excesso por mol \,G^{E} (em \mathrm{J/mol});\n
    2. pressão total de equilíbrio \,P (em Pa);\n
    3. composição do vapor em equilíbrio \,y_1 (n-pentanol) e \,y_2 (n-hexano).\n

Passo 2

Interpretação do modelo e escolha do método (explicação didática do porquê):\n
  • O enunciado cita a “equação do Margulles” e dá duas constantes. A forma usual de Margules de dois parâmetros usa constantes \,A_{12} e \,A_{21}. Aqui foi entregue \,\Lambda_{21}=0,629; vou interpretar esse valor como sendo o segundo parâmetro de Margules \,A_{21}=0,629. Se isto estiver diferente do que o professor quis, o procedimento é o mesmo, só mudam os números.\n
  • Justificativa do método: como foram fornecidas constantes de Margules, usamos a forma de Margules de dois parâmetros para obter os coeficientes de atividade \,\gamma_1 e \,\gamma_2. Essas \gamma corrigem a Lei de Raoult para não idealidade no líquido e permitem calcular a pressão total e a composição do vapor.\n
  • Fórmulas que usaremos (vou explicar cada termo em seguida):\n
    • Fórmulas da Margules (forma de dois parâmetros):\n \ln\gamma_1 = x_2^{2}\Bigl(A_{12} + 2\,(A_{21}-A_{12})\,x_1\Bigr)\n
    \ln\gamma_2 = x_1^{2}\Bigl(A_{21} + 2\,(A_{12}-A_{21})\,x_2\Bigr)\nAqui \,x_i são as frações molares líquidas, \,A_{12} e \,A_{21} são as constantes de Margules (adimensionais) e \,\gamma_i são os coeficientes de atividade adimensionais.\n
    • Lei de Raoult modificada (vapor ideal, líquido não ideal):\n P = \sum_{i} x_i\,\gamma_i\,P_i^{\text{Sat}} = x_1\gamma_1 P_1^{\text{Sat}} + x_2\gamma_2 P_2^{\text{Sat}}\n
    Aqui \,P é a pressão total do sistema em equilíbrio e \,P_i^{\text{Sat}} é a pressão de vapor do componente puro i à temperatura considerada.\n
    • Composição do vapor (Lei de Dalton + Raoult modificada):\n y_i = \frac{x_i\,\gamma_i\,P_i^{\text{Sat}}}{P}\n
    • Energia de Gibbs em excesso molar (ligação direta com \gamma): \n G^{E} = R\,T\sum_{i} x_i \ln\gamma_i = R\,T\,(x_1\ln\gamma_1 + x_2\ln\gamma_2)\n
    Em que \,R é a constante dos gases \,R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e T a temperatura em kelvin.\n
  • Vamos agora aplicar essas fórmulas passo a passo com os números do enunciado.

Passo 3

Cálculo de \ln\gamma_1 e \gamma_1 com a Margules de dois parâmetros (mostrando contas):\n
  • Valores numéricos: \,x_1=0,20, \,x_2=0,80, \,A_{12}=0,0700, \,A_{21}=0,629 (interpretei \Lambda_{21} como \,A_{21}).\n
  • Primeiro calculemos o fator dentro de \ln\gamma_1:\n A_{12} + 2\,(A_{21}-A_{12})\,x_1 = 0{,}0700 + 2\,(0{,}629-0{,}0700)\times 0{,}20\n = 0{,}0700 + 2\times 0{,}559\times 0{,}20 = 0{,}0700 + 2\times 0{,}1118 = 0{,}0700 + 0{,}2236 = 0{,}2936\n
  • Agora \ln\gamma_1 = x_2^{2}\times 0{,}2936. Como \,x_2^{2}=0{,}80^{2}=0{,}64, temos:\n \ln\gamma_1 = 0{,}64\times 0{,}2936 = 0{,}187904\n
  • Portanto \,\gamma_1 = \exp(0{,}187904). Calculando a exponencial:\n \gamma_1 \approx 1{,}2066

Passo 4

Cálculo de \ln\gamma_2 e \gamma_2 (continuação do Margules):\n
  • Primeiro calculemos o fator dentro de \ln\gamma_2:\n A_{21} + 2\,(A_{12}-A_{21})\,x_2 = 0{,}629 + 2\,(0{,}0700-0{,}629)\times 0{,}80\n = 0{,}629 + 2\times(-0{,}559)\times 0{,}80 = 0{,}629 + 2\times(-0{,}4472) = 0{,}629 - 0{,}8944 = -0{,}2654\n
  • Agora \ln\gamma_2 = x_1^{2}\times(-0{,}2654). Como \,x_1^{2}=0{,}20^{2}=0{,}04, temos:\n \ln\gamma_2 = 0{,}04\times(-0{,}2654) = -0{,}010616\n
  • Portanto \,\gamma_2 = \exp(-0{,}010616). Calculando a exponencial:\n \gamma_2 \approx 0{,}98943

Passo 5

Cálculo da pressão total P usando a Lei de Raoult modificada (mostrar contas):\n
  • Fórmula: \,P = x_1\gamma_1 P_1^{\text{Sat}} + x_2\gamma_2 P_2^{\text{Sat}}.\n
  • Calculemos cada termo:\n x_1\gamma_1 P_1^{\text{Sat}} = 0{,}20\times 1{,}2066\times 431\\ \mathrm{Pa}\n = 0{,}24132\times 431 \approx 104{,}03\\ \mathrm{Pa}\n x_2\gamma_2 P_2^{\text{Sat}} = 0{,}80\times 0{,}98943\times 24945\\ \mathrm{Pa}\n = 0{,}791544\times 24945 \approx 19745{,}05\\ \mathrm{Pa}\n
  • Somando os dois termos:\n P \approx 104{,}03 + 19745{,}05 = 19849{,}08\\ \mathrm{Pa}\n
  • Podemos arredondar com razoável significado: \,P \approx 1,985\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} (ou \,19{,}85\\ \mathrm{kPa}).

Passo 6

Cálculo da composição do vapor y_1 e y_2 (passo a passo):\n
  • Fórmula: \,y_1 = \dfrac{x_1\gamma_1 P_1^{\text{Sat}}}{P}.\n
  • Já temos o numerador calculado no passo anterior: x_1\gamma_1 P_1^{\text{Sat}}\approx 104{,}03\\ \mathrm{Pa} e P\approx 19849{,}08\\ \mathrm{Pa}.\n
  • Então:\n y_1 \approx \frac{104{,}03}{19849{,}08} \approx 0{,}00524\n
  • E naturalmente \,y_2 = 1 - y_1 \approx 0{,}99476.\n
  • Interpretação física curta: como o n-hexano tem pressão de vapor muito maior, o vapor é praticamente todo hexano; o pentanol aparece em fração molar muito baixa no vapor.

Passo 7

Cálculo da energia de Gibbs em excesso G^{E} (explicando a fórmula e computando):\n
  • Fórmula: \,G^{E} = R\,T\,(x_1\ln\gamma_1 + x_2\ln\gamma_2).\n
  • Já temos \ln\gamma_1=0{,}187904 e \ln\gamma_2=-0{,}010616.\n- Calculemos o somatório ponderado:\n x_1\ln\gamma_1 + x_2\ln\gamma_2 = 0{,}20\times 0{,}187904 + 0{,}80\times(-0{,}010616)\n = 0{,}0375808 - 0{,}0084928 = 0{,}0290880\n
  • Agora R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e T=303{,}15\\ \mathrm{K}, então R\,T = 8{,}314\times 303{,}15 \approx 2519{,}9\\ \mathrm{J/mol}.\n
  • Finalmente:\n G^{E} \approx 2519{,}9\times 0{,}0290880 \approx 73{,}26\\ \mathrm{J/mol}\n
  • Interpretação: G^{E}>0 indica comportamento global de não idealidade que aumenta a energia livre do líquido em relação à mistura ideal (principalmente devido ao n-pentanol aqui).

Resposta

G^{E} \approx 73{,}26\\ \mathrm{J/mol}\n
P \approx 1{,}985\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} (ou 19{,}85\\ \mathrm{kPa})\n
y_1 \approx 0{,}00524,\quad y_2 \approx 0{,}99476

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