E6.5 Um sistema com realimentação unitária possui uma função de transferência em malha
em que
. Encontre as raízes da equação característica do sistema em malha fechada.
Passo 1
O enunciado diz que o sistema em malha com realimentação unitária tem função de transferência em malha
com
. A pergunta é: encontrar as raízes da equação característica do sistema em malha fechada.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O que se pede: os valores de
(polos em malha fechada) que satisfazem a equação característica do sistema em malha fechada.
Passo 2
Escrevendo a equação característica para realimentação unitária: a condição de polos em malha fechada é
Substituindo
,
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a forma polinomial da equação característica:
Agora vamos expandir o produto
.
Passo 3
Expandindo passo a passo:
Multiplicando por
:
Agrupando termos:
Adicionando
conforme a equação característica:
portanto a equação característica fica
Passo 4
Agora precisamos achar as raízes do polinômio cúbico
Estratégia de resolução (explicando o raciocínio): primeiro verificar possíveis raízes racionais (teorema do resto/raiz racional) — candidatos
— mas testando rapidamente vemos que nenhum desses zera o polinômio. Portanto é razoável esperar uma raiz real irracional e possivelmente um par de raízes complexas conjugadas. Uma forma prática em prova é achar numericamente a raiz real (por bisseção ou Newton) e depois dividir o polinômio por
para obter uma quadrática cujas raízes se encontram pela fórmula quadrática.
Vou usar o método de Newton para localizar a raiz real rapidamente. A função e sua derivada são
Escolhemos um chute inicial; avaliando sinais, por exemplo
e
, logo existe uma raiz real entre
e
. Começamos com
.
Passo 5
Aplicando algumas iterações de Newton (mostrando o método para você saber usar na prova):
Regra de Newton:
Regra de Newton:
Iteração 1 (resumo dos cálculos):
Iteração 2 (uma atualização rápida) leva a um valor ainda mais preciso próximo de
. Portanto a raiz real é aproximadamente
(Explicação curta: Newton converge rápido; para provas, uma ou duas iterações já dão precisão suficiente.)
Passo 6
Agora dividimos o polinômio cúbico por
para obter a quadrática restante. Usando divisão sintética (mostro a ideia: trazer 1, multiplicar por
, somar, etc.) obtemos o quociente aproximado
Ou seja,
Passo 7
Agora resolvemos a quadrática
pela fórmula quadrática. Lembrando a fórmula:
onde, para nossa quadrática,
,
,
.
Calculemos o discriminante:
Como
, temos um par de raízes complexas conjugadas. Escrevendo
e extraindo a parte imaginária:
Assim as raízes são
Passo 8
Resumo dos resultados (explicando o que cada coisa significa rapidamente): encontramos um polo real em malha fechada
e um par complexo conjugado
. Esses três valores são as raízes da equação característica, ou seja, os polos do sistema em malha fechada.