E6.5 Um sistema com realimentação unitária possui uma função de transferência em malha
L(s)=\frac{K}{(s+1)(s+3)(s+6)}
em que K=20. Encontre as raízes da equação característica do sistema em malha fechada.

Passo 1

O enunciado diz que o sistema em malha com realimentação unitária tem função de transferência em malha
L(s)=\frac{K}{(s+1)(s+3)(s+6)}
com K=20. A pergunta é: encontrar as raízes da equação característica do sistema em malha fechada.
Informações relevantes fornecidas:
K=20, \qquad L(s)=\frac{K}{(s+1)(s+3)(s+6)}.
O que se pede: os valores de s (polos em malha fechada) que satisfazem a equação característica do sistema em malha fechada.

Passo 2

Escrevendo a equação característica para realimentação unitária: a condição de polos em malha fechada é
1+L(s)=0.
Substituindo L(s),
1+\frac{K}{(s+1)(s+3)(s+6)}=0.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+3)(s+6) obtemos a forma polinomial da equação característica:
(s+1)(s+3)(s+6)+K=0.
Agora vamos expandir o produto (s+1)(s+3)(s+6).

Passo 3

Expandindo passo a passo:
(s+1)(s+3)=s^2+4s+3.
Multiplicando por (s+6):
(s^2+4s+3)(s+6)=s^3+6s^2+4s^2+24s+3s+18.
Agrupando termos:
(s+1)(s+3)(s+6)=s^3+10s^2+27s+18.
Adicionando K=20 conforme a equação característica:
s^3+10s^2+27s+18+20=0,
portanto a equação característica fica
\boxed{s^3+10s^2+27s+38=0.}

Passo 4

Agora precisamos achar as raízes do polinômio cúbico
s^3+10s^2+27s+38=0.
Estratégia de resolução (explicando o raciocínio): primeiro verificar possíveis raízes racionais (teorema do resto/raiz racional) — candidatos \pm1,\pm2,\pm19,\pm38 — mas testando rapidamente vemos que nenhum desses zera o polinômio. Portanto é razoável esperar uma raiz real irracional e possivelmente um par de raízes complexas conjugadas. Uma forma prática em prova é achar numericamente a raiz real (por bisseção ou Newton) e depois dividir o polinômio por (s-s_1) para obter uma quadrática cujas raízes se encontram pela fórmula quadrática.
Vou usar o método de Newton para localizar a raiz real rapidamente. A função e sua derivada são
f(s)=s^3+10s^2+27s+38, \qquad f'(s)=3s^2+20s+27.
Escolhemos um chute inicial; avaliando sinais, por exemplo f(-6)=20>0 e f(-7)=-4<0, logo existe uma raiz real entre -7 e -6. Começamos com s_0=-6{,}9.

Passo 5

Aplicando algumas iterações de Newton (mostrando o método para você saber usar na prova):
Regra de Newton:
s_{k+1}=s_k-\frac{f(s_k)}{f'(s_k)}.
Iteração 1 (resumo dos cálculos):
f(-6{,}9)\approx -0{,}709,\qquad f'(-6{,}9)\approx 31{,}83
s_1=-6{,}9-\frac{-0{,}709}{31{,}83}\approx -6{,}8776.
Iteração 2 (uma atualização rápida) leva a um valor ainda mais preciso próximo de -6{,}8776. Portanto a raiz real é aproximadamente
\boxed{s_1\approx -6{,}8776.}
(Explicação curta: Newton converge rápido; para provas, uma ou duas iterações já dão precisão suficiente.)

Passo 6

Agora dividimos o polinômio cúbico por (s-s_1)=(s+6{,}8776) para obter a quadrática restante. Usando divisão sintética (mostro a ideia: trazer 1, multiplicar por -6{,}8776, somar, etc.) obtemos o quociente aproximado
s^2+3{,}12244\,s+5{,}52532.
Ou seja,
s^3+10s^2+27s+38\approx (s+6{,}8776)\bigl(s^2+3{,}12244\,s+5{,}52532\bigr).

Passo 7

Agora resolvemos a quadrática
s^2+3{,}12244\,s+5{,}52532=0
pela fórmula quadrática. Lembrando a fórmula:
s=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde, para nossa quadrática, a=1, b=3{,}12244, c=5{,}52532.
Calculemos o discriminante:
\Delta=b^2-4ac\approx 3{,}12244^{2}-4\cdot1\cdot5{,}52532\approx -12{,}3517\\ (<0).
Como \Delta<0, temos um par de raízes complexas conjugadas. Escrevendo \Delta=-|\Delta| e extraindo a parte imaginária:
\sqrt{\Delta}=i\sqrt{|\Delta|}\approx i\cdot 3{,}5124.
Assim as raízes são
s=\frac{-3{,}12244\pm i\,3{,}5124}{2}\approx -1{,}56122\pm i\,1{,}7562.

Passo 8

Resumo dos resultados (explicando o que cada coisa significa rapidamente): encontramos um polo real em malha fechada \approx -6{,}8776 e um par complexo conjugado \approx -1{,}5612\pm j\,1{,}7562. Esses três valores são as raízes da equação característica, ou seja, os polos do sistema em malha fechada.

Resposta

s\approx -6{,}8776
s\approx -1{,}5612 + 1{,}7562\,i
s\approx -1{,}5612 - 1{,}7562\,i

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