Um sistema de refrigeração requer 1,5 \mathrm{~kW} de potência para uma taxa de refrigeração de 4 \mathrm{~kJ} \cdot \mathrm{~s}^{-1}.
(a)Qual é o coeficiente de performance?
(b)Qual é a quantidade de calor rejeitada no condensador?
(c)Se a rejeição do calor ocorrer a 40^{\circ} \mathrm{C}, qual será a menor temperatura que possivelmente o sistema terá capacidade de manter?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede três coisas:
Dados:
  • Potência de entrada (trabalho) fornecida ao sistema: \dot W = 1{,}5\\ \mathrm{kW}.
  • Taxa de refrigeração (calor extraído do ambiente frio): \dot Q_L = 4\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{s}^{-1} = 4\\ \mathrm{kW}.
Perguntas:
(a) Qual é o coeficiente de performance (COP) do refrigerador?
(b) Qual é a quantidade de calor rejeitada no condensador (taxa de calor rejeitado \dot Q_H)?
(c) Se a rejeição do calor ocorrer a 40^\circ\mathrm{C}, qual será a menor temperatura que possivelmente o sistema terá capacidade de manter?

Passo 2

Conceito e fórmula do coeficiente de performance:
  • O coeficiente de performance de um refrigerador ( \mathrm{COP}) mede quantos joules de calor removidos do espaço frio são obtidos por joule de trabalho gasto. A definição é
\mathrm{COP} = \frac{\dot Q_L}{\dot W}.
Aqui \dot Q_L é a taxa de calor removida (em \mathrm{kW} ou \mathrm{kJ/s}) e \dot W é a potência fornecida (em \mathrm{kW}). É importante que ambas as grandezas estejam nas mesmas unidades antes de dividir.

Passo 3

Cálculo do item (a) usando a fórmula:
Substituindo os valores fornecidos,
\mathrm{COP}=\frac{\dot Q_L}{\dot W}=\frac{4}{1{,}5}.
Fazendo a divisão passo a passo: 4\div1{,}5 = \frac{4}{1{,}5} = \frac{8}{3}. Em forma decimal,
\mathrm{COP}=\frac{8}{3}\approx2{,}6667\approx2{,}67.
Interpretação rápida: para cada 1 kJ de trabalho gasto, o sistema remove cerca de 2{,}67 kJ de calor do espaço frio.

Passo 4

Conservação de energia para encontrar o calor rejeitado (item b):
  • Energia se conserva; o calor rejeitado no condensador \dot Q_H é a soma do calor extraído do espaço frio e do trabalho fornecido:
\dot Q_H=\dot Q_L+\dot W.
Substituindo os valores:
\dot Q_H=4+1{,}5=5{,}5\\ \mathrm{kW}.
Explicação: todo o calor retirado do evaporador mais o trabalho colocado na máquina aparece no condensador como calor rejeitado.

Passo 5

Entendendo o limite teórico e cálculo da menor temperatura possível (item c):
  • O melhor desempenho possível para um refrigerador entre duas temperaturas é o do ciclo reversível (Carnot). O \mathrm{COP} de um refrigerador de Carnot que opera entre uma fonte quente à temperatura T_H e uma fria à temperatura T_L (ambas em kelvin) é
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{1}{\frac{T_H}{T_L}-1}=\frac{T_L}{T_H-T_L}.
  • Como nenhum refrigerador real pode superar o ideal, vale \mathrm{COP}_{\text{real}}\le \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}. Portanto, dado o \mathrm{COP} real que o sistema apresenta, a menor temperatura fria possível (melhor caso teórico) é obtida ao igualar o \mathrm{COP} real ao \mathrm{COP}_{\text{Carnot}} e resolver para T_L.
Passos algébricos para isolar T_L: partindo de
\mathrm{COP}=\frac{T_L}{T_H-T_L},
multiplicamos ambos os lados por (T_H-T_L):
\mathrm{COP}\,T_H-\mathrm{COP}\,T_L=T_L.
Agrupando os termos em T_L:
\mathrm{COP}\,T_H = T_L(1+\mathrm{COP}).
Logo
T_L=\frac{\mathrm{COP}}{1+\mathrm{COP}}\,T_H.

Passo 6

Aplicando numericamente para o sistema:
  • Primeiro convertemos a temperatura do condensador para kelvin: 40^\circ\mathrm{C}=40+273{,}15=313{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Usamos o \mathrm{COP} encontrado no Passo 3: \mathrm{COP}=\frac{8}{3}.
    Substituindo na fórmula:
T_L=\frac{\frac{8}{3}}{1+\frac{8}{3}}\,\cdot 313{,}15\\ \mathrm{K} =\frac{8}{11}\cdot 313{,}15\\ \mathrm{K}.
Calculando:
T_L \approx 0{,}7272727\cdot 313{,}15\\ \mathrm{K}\approx 227{,}00\\ \mathrm{K}.
Convertendo para graus Celsius:
T_L=227{,}00\\ \mathrm{K}-273{,}15\approx -46{,}15^\circ\mathrm{C}.
Interpretação final: este valor é o menor que o sistema poderia, teoricamente (melhor caso reversível), manter com rejeição a 40^\circ\mathrm{C}. Na prática um sistema real provavelmente manteria uma temperatura igual ou maior (menos fria) devido às irreversibilidades.

Resposta

(a) \mathrm{COP}=\dfrac{8}{3}\approx2{,}67
(b) \dot Q_H=5{,}5\\ \mathrm{kW}
(c) T_{L,\min}\approx227{,}0\\ \mathrm{K}\approx-46{,}15^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados