Uma turbina opera adiabaticamente com vapor superaquecido sendo alimentado a \mathrm{T}_{1} e \mathrm{P}_{1}, com uma vazão mássica m. A pressão na exaustão é \mathrm{P}_{2} e a eficiência da turbina é \eta. Para um dos conjuntos de condições operacionais a seguir, determine a potência produzida pela turbina, a entalpia e a entropia do vapor na exaustão.
T_{1}=550^{\circ} \mathrm{C}, P_{1}=9000 \mathrm{kPa}, \dot{m}=90 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~s}^{-1}, P_{2}=20 \mathrm{kPa}, \eta=0,77.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a turbina que opera adiabaticamente com vazão mássica \dot{m}: a potência produzida pela turbina, a entalpia do vapor na exaustão e a entropia do vapor na exaustão. Dados fornecidos:
T_{1}=550^\circ\mathrm{C},\quad P_{1}=9000\\ \mathrm{kPa},\quad \dot{m}=90\\ \mathrm{kg\cdot s^{-1}},\quad P_{2}=20\\ \mathrm{kPa},\quad \eta=0{,}77.
Vou usar as tabelas de vapor (IAPWS/IF97) para obter propriedades do vapor no ponto de entrada e nas condições de saturção em P_{2}. A resolução numérica depende desses valores tabelados; abaixo eu explico como são usados e mostro os valores que utilizei.

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (explicadinhas, passo a passo):
  • Para uma turbina em regime estacionário e adiabática (sem trocas de calor), a potência (taxa de trabalho) entregue pela turbina é a diferença de entalpia multiplicada pela vazão mássica:
\dot{W}=\dot{m}\,(h_{1}-h_{2}).
Aqui \dot{W} é a potência (kW), \dot{m} é a vazão mássica (kg/s), h_{1} é a entalpia específica na entrada (kJ/kg) e h_{2} é a entalpia específica na saída (kJ/kg).
  • A eficiência isentrópica da turbina \eta é definida como a razão entre o trabalho real obtido e o trabalho ideal (isentrópico):
\eta=\frac{h_{1}-h_{2}}{h_{1}-h_{2s}},
onde h_{2s} é a entalpia no ponto de saída se a expansão fosse isentrópica (isto é, s_{2s}=s_{1} à pressão P_{2}). Dessa relação isolamos h_{2}:
h_{2}=h_{1}-\eta\,(h_{1}-h_{2s}).
  • Para obter h_{2s} quando a expansão isentrópica termina na região bifásica (mistura líquido-vapor) usamos a qualidade isentrópica x_{s} obtida pela igualdade de entropias:
s_{2s}=s_{1}=s_{f2}+x_{s}\,s_{fg2}\quad\Rightarrow\quad x_{s}=\frac{s_{1}-s_{f2}}{s_{fg2}},
e então
h_{2s}=h_{f2}+x_{s}\,h_{fg2},
onde os índices f e g e as quantidades com subíndice 2 referem-se às propriedades de líquido saturado e vapor saturado à pressão P_{2}. Se, ao contrário, s_{1}>s_{g2} (entropia do vapor saturado), a expansão isentrópica cairia na região de vapor sobreaquecido e seria necessário usar a tabela de vapor sobreaquecido em P_{2} para achar h_{2s}.
  • Depois de obter h_{2} (real), se a saída estiver na região bifásica podemos calcular a qualidade real x pela
x=\frac{h_{2}-h_{f2}}{h_{fg2}}
e a entropia real de saída
s_{2}=s_{f2}+x\,s_{fg2}.
Observação: toda propriedade numérica (entalpia, entropia) será retirada das tabelas de vapor; abaixo eu coloco os valores que usei e sigo a álgebra numérica mostrando cada passo.

Passo 3

Leitura nas tabelas de vapor (valores adotados, retirados de tabelas IAPWS/IF97 — estou indicando os números que usei para calcular):
  • Superaquecido em P_{1}=9000\\ \mathrm{kPa} e T_{1}=550^\circ\mathrm{C}:
h_{1}=3476{,}7\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}},\qquad s_{1}=6{,}757\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Propriedades de saturação em P_{2}=20\\ \mathrm{kPa} (saturação: T_{\text{sat}}\approx 60{,}06^\circ\mathrm{C}):
h_{f2}=251{,}13\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}},\qquad s_{f2}=0{,}832\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}},
h_{fg2}=2355{,}9\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}},\qquad s_{fg2}=7{,}316\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}.
Obs.: h_{g2}=h_{f2}+h_{fg2} e s_{g2}=s_{f2}+s_{fg2}. Eu usei esses números tabelados para P2; se na sua tabela houver valores levemente diferentes, os resultados finais mudam pouco. Agora aplicamos as fórmulas.

Passo 4

Determinar a saída isentrópica h_{2s} (primeiro verificar se a expansão isentrópica atinge a região bifásica):
  • Pelo valor tabelado, s_{g2}=s_{f2}+s_{fg2}=0{,}832+7{,}316=8{,}148\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}. Como
s_{1}=6{,}757 < s_{g2}=8{,}148,
a expansão isentrópica na pressão P_{2} termina na região bifásica (mistura). Então calculamos a qualidade isentrópica:
x_{s}=\frac{s_{1}-s_{f2}}{s_{fg2}}=\frac{6{,}757-0{,}832}{7{,}316}=\frac{5{,}925}{7{,}316}=0{,}8096.
Agora a entalpia isentrópica de saída:
h_{2s}=h_{f2}+x_{s}\,h_{fg2}=251{,}13+0{,}8096\cdot 2355{,}9.
Calculemos o produto:
0{,}8096\cdot 2355{,}9=1907{,}07\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}},
portanto
h_{2s}=251{,}13+1907{,}07=2158{,}20\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.

Passo 5

Calcular a entalpia real de saída h_{2} usando a eficiência isentrópica \eta:
h_{2}=h_{1}-\eta\,(h_{1}-h_{2s}).
Substituindo valores:
h_{1}-h_{2s}=3476{,}7-2158{,}20=1318{,}50\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
A parte útil real por kg é
\eta\,(h_{1}-h_{2s})=0{,}77\cdot 1318{,}50=1015{,}25\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
Logo
h_{2}=h_{1}-1015{,}25=3476{,}7-1015{,}25=2461{,}45\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.

Passo 6

Calcular a potência entregue pela turbina:
\dot{W}=\dot{m}\,(h_{1}-h_{2})=\dot{m}\cdot 1015{,}25.
Com \dot{m}=90\\ \mathrm{kg\cdot s^{-1}}:
\dot{W}=90\cdot 1015{,}25=91\,372{,}5\\ \mathrm{kW}=91{,}3725\\ \mathrm{MW}.
(Arredondaremos de forma prática na resposta.)

Passo 7

Calcular a qualidade real de saída x e a entropia real s_{2} (já que saímos na região bifásica):
  • Qualidade real:
x=\frac{h_{2}-h_{f2}}{h_{fg2}}=\frac{2461{,}45-251{,}13}{2355{,}9}=\frac{2210{,}32}{2355{,}9}=0{,}9384.
  • Entropia real:
s_{2}=s_{f2}+x\,s_{fg2}=0{,}832+0{,}9384\cdot 7{,}316.
Calcule o produto:
0{,}9384\cdot 7{,}316=6{,}869,
logo
s_{2}=0{,}832+6{,}869=7{,}701\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}.
Repare que s_{2}=7{,}701>s_{1}=6{,}757, como esperado: irreversibilidades aumentam a entropia na saída.

Passo 8

Resumo de verificação rápida:
  • Energia por kg extraída idealmente: h_{1}-h_{2s}=1318{,}50\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Energia por kg extraída na prática: h_{1}-h_{2}=1015{,}25\\ \mathrm{kJ/kg} (que é 0{,}77 do ideal).
  • Potência total para \dot{m}=90\\ \mathrm{kg/s}: aproximadamente 91{,}37\\ \mathrm{MW}.
    Se suas tabelas darem valores levemente diferentes para h_{1},s_{1},h_{f2},h_{fg2},s_{f2},s_{fg2}, refaça as contas com exatamente aqueles números; o procedimento e as fórmulas são estes.

Resposta

Potência produzida: \dot{W}=91{,}37\\ \mathrm{MW}
Entalpia do vapor na exaustão: h_{2}=2461{,}45\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}
Entropia do vapor na exaustão: s_{2}=7{,}701\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}

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