Para o sistema de segunda ordem a seguir, determine \zeta (zeta), \omega n (frequência Natural), Ts (tempo de acomodação), Tp (tempo de pico) e %UP (ultrapassagem percentual).
T(s)=\frac{200}{s^{2}+10 s+200}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência de um sistema de segunda ordem
T(s)=\frac{200}{s^{2}+10s+200}
e pede os parâmetros de desempenho em malha fechada para um caso subamortecido: o fator de amortecimento \zeta, a frequência natural \omega_{n}, o tempo de acomodação T_{s} (2 %), o tempo de pico T_{p} e a ultrapassagem percentual %UP. Para resolver, vamos comparar o denominador com a forma padrão de um sistema de segunda ordem.

Passo 2

A forma padrão do denominador de um sistema de segunda ordem é
s^{2} + 2\zeta\,\omega_{n}\,s + \omega_{n}^{2}.
Comparando com s^{2} + 10s + 200, identificamos
2\zeta\,\omega_{n} = 10, \quad \omega_{n}^{2} = 200.

Passo 3

Da segunda equação temos
\omega_{n} = \sqrt{200} \approx 14{,}142\;\text{rad/s}.
Substituindo em 2\zeta\,\omega_{n}=10 resulta
\zeta = \frac{10}{2\omega_{n}} = \frac{10}{2\cdot14{,}142} \approx 0{,}354.

Passo 4

O tempo de acomodação T_{s} para 2 % é geralmente aproximado por
T_{s} \approx \frac{4}{\zeta\,\omega_{n}}.
Logo,
T_{s} \approx \frac{4}{0{,}354 \times 14{,}142} \approx 0{,}80\;\text{s}.

Passo 5

O tempo de pico T_{p} é dado por
T_{p} = \frac{\pi}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}}.
Como \zeta^{2}\approx0{,}125, temos \sqrt{1-\zeta^{2}}\approx0{,}935, então
T_{p} \approx \frac{\pi}{14{,}142\cdot0{,}935} \approx 0{,}24\;\text{s}.

Passo 6

A ultrapassagem percentual %UP é
\%\text{UP} = 100\,e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}.
Substituindo \zeta=0{,}354 e \sqrt{1-\zeta^{2}}=0{,}935,
\%\text{UP} \approx 100\,e^{-\,\frac{0{,}354\pi}{0{,}935}} \approx 100\,e^{-1{,}187} \approx 30{,}5\%.

Resposta

\zeta \approx 0{,}354 \omega_{n} \approx 14{,}142\;\text{rad/s} T_{s} \approx 0{,}80\;\text{s} T_{p} \approx 0{,}24\;\text{s} \%\text{UP} \approx 30{,}5\%

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