Um sistema de tanques está para ser instalado numa unidade de plantas pilotos. A proposta inicial é a de dois tanques em série sem interação. Cada tanque tem 5 ft de altura e 3 ft de diâmetro. A vazão de projeto é F_{i, e}=100 \mathrm{gal} / \mathrm{min}. Foi sugerido que um projeto melhor seria substituir os dois tanques por um único tanque com 4 ft de diåmetro e com o mesmo volume total (i.e, V=V_{1}+V_{2} ).
Em sua análise vocè pode supor que:
i. As válvulas nas saidas de cada tanque atuam como resisténcias lineares.
ii. As válvulas são ajustadas de modo que cada tanque está cheio pela metade na condição de projeto nominal F_{i, e}=100 \mathrm{gal} / \mathrm{min}.
Qual dos dois projetos (o original ou o modificado e capaz de suportar as maiores perturbaçöes em F_{i} ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados geométricos dos tanques:
Tanque original (cada um): altura H=5\\ \mathrm{ft}, diâmetro d=3\\ \mathrm{ft} (logo raio r=1{,}5\\ \mathrm{ft}).
Tanque proposto (único): diâmetro d_s=4\\ \mathrm{ft} (logo raio r_s=2\\ \mathrm{ft}) e altura H_s tal que o volume total seja igual ao dos dois tanques originais: V_s = V_1+V_2.
Vazão de projeto (nominal): F_{i,e}=100\\ \mathrm{gal}/\mathrm{min}.
Suposições dadas:
i. As válvulas nas saídas são resistências lineares: saída F_{out}=k\,h (constante k em \mathrm{gal/min\\ per\\ ft} e h em \mathrm{ft}).
ii. As válvulas são ajustadas de modo que, na condição nominal F_{i,e}=100\\ \mathrm{gal/min}, cada tanque está cheio pela metade (ou seja, cada tanque tem nível estacionário h^*=H/2) — isso vale para a configuração em série (cada um dos dois tanques) e, por analogia, o tanque único também será ajustado de modo que fique pela metade no projeto nominal.
Pergunta que o enunciado faz:
Qual dos dois projetos (os dois tanques em série ou o tanque único com mesmo volume total) é capaz de suportar as maiores perturbações em F_i? Justificar.
Passo 2
Modelo matemático e relação entre volume, área, altura e constante da válvula — aula curta.
Balanço de massa (nível) para um tanque cilindro:
Volume do líquido V=A\,h, onde A é a área da seção transversal do tanque (em \mathrm{ft}^2) e h é o nível (em \mathrm{ft}).
Dinâmica: \dfrac{dV}{dt} = F_i - F_{out}. Em termos de nível:A\,\dfrac{dh}{dt} = F_i - k\,h.Aqui:
A tem unidades \mathrm{ft}^2,
F_i e k\,h têm unidades \mathrm{gal/min},
para consistência de unidades, quando usamos A em \mathrm{ft}^2 devemos converter volumes \mathrm{ft}^3 para galões; na prática trabalhamos usando A convertido em \mathrm{gal/ft}, isto é:A_{\text{(gal/ft)}} = A_{\text{(ft}^2)} \times 7{,}48052\\ \frac{\mathrm{gal}}{\mathrm{ft}^3}.
Estado estacionário (dh/dt=0):F_i = k\,h^* \quad\Rightarrow\quad h^* = \frac{F_i}{k}.Assim, a sensibilidade (ganho estático) do nível em relação a variações na vazão é\frac{dh^*}{dF_i}=\frac{1}{k}.
A constante k é fixada pelo ajuste da válvula para que, em F_{i,e}=100\\ \mathrm{gal/min}, o nível estacionário seja h^*=H/2. Logo:k=\frac{F_{i,e}}{h^*}=\frac{100}{H/2}=\frac{200}{H}\quad(\mathrm{gal/min\\ per\\ ft}).Isso vale para cada tanque considerado isoladamente (usar H apropriado).
Passo 3
Calcular volumes, área e a altura do tanque único que tem o mesmo volume total dos dois tanques originais.
(Esses números serão úteis para constantes de tempo, explico adiante.)
Passo 4
Determinar as constantes k a partir do ajuste dado e comparar a sensibilidade estática.
Para cada tanque original (altura H=5\\ \mathrm{ft}):k_{\text{orig}}=\frac{200}{H}=\frac{200}{5}=40\\ \mathrm{gal/min\\ per\\ ft}.
Para o tanque único (altura H_s=5{,}625\\ \mathrm{ft}):k_{\text{single}}=\frac{200}{H_s}=\frac{200}{5{,}625}\approx 35{,}5556\\ \mathrm{gal/min\\ per\\ ft}.
Interpretação: para uma mesma pequena variação em F_i, o nível do tanque único varia um pouco mais (maior sensibilidade) do que o nível de qualquer tanque original isolado.
Passo 5
Cálculo da maior perturbação contínua \Delta F_i que cada projeto pode suportar sem transbordamento (análise estática, condição de equilíbrio).
Em F_{i,e}=100\\ \mathrm{gal/min} os tanques estão pela metade, então margem até o topo (headroom) é \Delta h_{\max}=H/2 para cada tanque (no caso do tanque único usar H_s/2).
Para evitar que o nível atinja o topo em regime permanente, a variação máxima estacionária permissível \Delta F_i deve satisfazer:
Note que a expressão simplifica e não depende de H: é a mesma para qualquer tanque ajustado para ficar pela metade quando F_{i,e}=100\\ \mathrm{gal/min}.
Conclusão direta daqui: tanto cada tanque do arranjo em série quanto o tanque único suportam a mesma perturbação estacionária máxima: \Delta F_i=100\\ \mathrm{gal/min}. Ou seja, em regime permanente, se F_i aumentar acima de 200\\ \mathrm{gal/min} algum tanque ficará cheio.
Passo 6
Comentário sobre dinâmica (transientes) e resposta a perturbações rápidas (insights práticos).
Constantes de tempo (para intuição): tempo característico \tau = \dfrac{A_{\text{(gal/ft)}}}{k} (minutos).
Para tanque original:\tau_{\text{orig}}=\frac{52{,}84}{40}\approx 1{,}321\\ \mathrm{min}.
Para tanque único:\tau_{\text{single}}=\frac{94{,}00}{35{,}5556}\approx 2{,}644\\ \mathrm{min}.
Interpretação:
O tanque único tem tempo característico aproximadamente o dobro do de um tanque original: reage mais lentamente a variações de vazão.
Para perturbações contínuas (passo permanente), o nível sobe monotonamente até o novo equilíbrio; como não há overshoot nos sistemas de primeira ordem lineares, o transiente não ultrapassa o novo valor de equilíbrio. Assim, o critério de evitar transbordamento é exatamente o critério estático já calculado (ΔF_i máximo igual a 100 gal/min), e ambos os projetos são equivalentes nesse sentido.
Para pulsos curtos (um pulso de vazão de curta duração), o efeito no nível depende de quanto volume adicional é introduzido e da área A: variação de nível para volume extra \Delta V é \Delta h=\Delta V/A. Como o tanque único tem área maior A_{\text{single}}>A_{\text{orig}}, para o mesmo pulso de volume o aumento de nível no tanque único será menor — portanto o tanque único é melhor para amortecer picos curtos de vazão (tem menor variação de altura por volume pulsado).
Para ruído/variações de frequência intermediária, a combinação de dois tanques em série funciona como um filtro (cadeia de dois pólos) e pode apresentar melhor atenuação de certas perturbações de frequência intermediária; além disso, tempos menores por tanque significam resposta mais rápida para recuperar o equilíbrio após uma perturbação, o que pode ser vantajoso em alguns cenários operacionais.
Passo 7
Resumo interpretativo e resposta clara à pergunta (repetição breve da lógica de justificativa).
Em termos de capacidade máxima de perturbação contínua (aquela que permanece no tempo, i.e., um aumento permanente da vazão de alimentação) antes de ocorrer transbordamento no estado estacionário, ambos os projetos são equivalentes: ambos suportam um aumento máximo de\Delta F_i^{\max}=100\\ \mathrm{gal/min}(portanto o fluxo total máximo suportado sem transbordamento é F_i=200\\ \mathrm{gal/min}).
Em termos de comportamento dinâmico e tipos de perturbação:
Para pulsos de curta duração (mesmo volume de pulso), o tanque único (maior área) dá menor variação de nível instantânea — vantagem do tanque único para picos rápidos.
Para perturbações que exigem recuperação rápida ou para atenuar variações de banda intermediária, a configuração com dois tanques em série (cada um com tempo menor) pode ser preferível por prover resposta mais rápida/filtragem.
Resposta
Nenhum: ambos são equivalentes quanto à maior perturbação contínua em F_i que podem suportar; ambos suportam \Delta F_i^{\max}=100\\ \mathrm{gal/min} (isto é, até F_i=200\\ \mathrm{gal/min} sem transbordamento).