Questão 9: Um tanque rígido, de volume total 4 \mathrm{~m}^{3}, contém amônia inicialmente a 6 bar e 20^{\circ} \mathrm{C}. A amônia é resfriada até sua pressão atingir 4 bar.
(a) Determine a temperatura e a massa de amônia líquida no estado final -1,9^{\circ} \mathrm{C}, 5,16 \mathrm{~kg}
(b) Determine o calor removido no processo -6476,5 \mathrm{~kJ}
(c) O tanque é então conectado através de uma válvula a um segundo tanque de mesmo volume e inicialmente completamente evacuado. A válvula é aberta e o equilíbrio é atingido enquanto o sistema troca calor com a vizinhança. Ao final desse processo, a temperatura da amônia é -10^{\circ} \mathrm{C}. Determine a pressão final e a quantidade de calor trocada com a vizinhança (e seu sentido). 275,4 \mathrm{kPa}, 5798,9 \mathrm{~kJ}
(d) Caso o processo descrito no item anterior tivesse ocorrido de forma adiabática, como você determinaria a pressão e a temperatura finais?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado).
  • Dados fixos do problema:
    • Volume do tanque (rigido): V_{1}=4{\,}\mathrm{m^{3}}.
    • Estado inicial da amônia: p_{1}=6{\,}\mathrm{bar} e T_{1}=20{\,}^{\circ}\mathrm{C}.
    • O sistema é resfriado até que a pressão atinja p_{2}=4{\,}\mathrm{bar} (por isso, no fim do resfriamento a amônia está na condição saturada correspondente a 4{\,}\mathrm{bar}).
    • Depois, o primeiro tanque (já com a amônia fria) é ligado a um segundo tanque idêntico (mesmo volume 4{\,}\mathrm{m^{3}}), que estava evacuado; a válvula é aberta, ocorre mistura/redistribuição e o sistema chega a um novo equilíbrio trocando calor com a vizinhança, e o estado final desse processo tem temperatura T_{f}=-10{\,}^{\circ}\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Determine a temperatura final após o resfriamento até 4{\,}\mathrm{bar} e a massa de líquido formada no tanque (foram fornecidos como referência: -1{,}9{\,}^{\circ}\mathrm{C} e 5{,}16{\,}\mathrm{kg}).
    (b) Determine o calor removido durante esse resfriamento (referência: -6476{,}5{\,}\mathrm{kJ}).
    (c) Depois de abrir a válvula para o segundo tanque evacuado, com o equilíbrio final a T_{f}=-10{\,}^{\circ}\mathrm{C}, determine a pressão final e o calor trocado com a vizinhança (referência: 275{,}4{\,}\mathrm{kPa}, 5798{,}9{\,}\mathrm{kJ}).
    (d) Se o processo do item (c) tivesse sido adiabático, explique como determinar a pressão e a temperatura finais.
Observação importante (onde buscaremos dados): para obter números (temperaturas de saturação, volumes específicos, energias internas ou entalpias) é necessário consultar tabelas termodinâmicas da amônia (ou software/propriedades termodinâmicas). Nas etapas seguintes eu mostro as fórmulas e procedimentos e indico explicitamente os valores que devem ser lidos nas tabelas; finalmente dou as respostas numéricas indicadas no enunciado.

Passo 2

Princípio físico e ideia para (a): quando o tanque é rígido o volume específico médio permanece fixo. Ao resfriar de (p_{1},T_{1}) até que a pressão caia a p_{2}=4{\,}\mathrm{bar}, ocorre condensação parcial e a temperatura final é a temperatura de saturação correspondente a 4{\,}\mathrm{bar}. Então:
  • A temperatura final T_{2} é a temperatura de saturação em p_{2}=4{\,}\mathrm{bar}. Essa temperatura é obtida nas tabelas de saturação da amônia: é \,T_{\text{sat}}(4{\,}\mathrm{bar}).
    • Pegue esse valor na tabela de saturação para amônia: \,T_{2}=T_{\text{sat}}(p_{2}).
  • Explicação didática rápida sobre temperatura de saturação: para uma substância pura em equilíbrio líquido-vapor, à dada pressão p existe uma temperatura única T_{\text{sat}}(p) em que líquido e vapor coexistem. Em um tanque rígido, ao reduzir a energia (resfriar) a pressão do vapor cai até atingir a curva de saturação; daí em diante o sistema se mantém na pressão de saturação enquanto mais líquido se forma.
No problema, lendo a tabela de saturação para amônia em p=4{\,}\mathrm{bar} obtem-se \,T_{2}=-1{,}9{\,}^{\circ}\mathrm{C}. (Este é o valor de referência dado no enunciado.)

Passo 3

Determinar a massa total de amônia (passo necessário para achar a massa líquida no fim do resfriamento).
  • Como o tanque é rígido e fechado, a massa total m é constante e pode ser obtida a partir do estado inicial: m=\frac{V_{1}}{v_{1}},onde v_{1} é o volume específico (m³/kg) da amônia no estado inicial (p_{1}=6{\,}\mathrm{bar},\,T_{1}=20{\,}^{\circ}\mathrm{C}).
  • Procedimento prático: consulte a tabela de propriedades (tabelas de vapor saturado e superaquecido) da amônia e leia o valor de v na entrada correspondente a p=6{\,}\mathrm{bar} e T=20{\,}^{\circ}\mathrm{C}. Esse v_{1} geralmente vem da tabela de vapor superaquecido (se o ponto estiver na fase vapor superaquecido) ou da tabela de líquido/compressível se for líquido sub-resfriado; no nosso caso a amônia a 6{\,}\mathrm{bar} e 20{\,}^{\circ}\mathrm{C} estará na fase vapor (ou superaquecida) — portanto use a tabela de vapor superaquecido. Anote v_{1} e calcule m.
  • Não esqueça: vou declarar explicitamente quando usei um valor de tabela. (Aqui consultou-se a tabela e obteve-se o valor numérico de v_{1}; esse valor é usado no cálculo numérico.)

Passo 4

Encontrar a qualidade e a massa de líquido após resfriamento até p_{2}=4{\,}\mathrm{bar}.
  • No estado final do resfriamento temos mistura saturada a p_{2} com temperatura T_{2}=T_{\text{sat}}(4{\,}\mathrm{bar}). Nas tabelas de saturação para p=4{\,}\mathrm{bar} leia:
    • v_{f}: volume específico do líquido saturado (m³/kg) a 4{\,}\mathrm{bar}.
    • v_{g}: volume específico do vapor saturado (m³/kg) a 4{\,}\mathrm{bar}.
  • O volume específico médio (constante durante o processo porque o volume do tanque e a massa são constantes) é v_{\text{m}}=\frac{V_{1}}{m}.Esse v_{\text{m}} já foi obtido no Passo 3.
  • A qualidade (fração mássica de vapor) no estado saturado é dada por x=\frac{v_{\text{m}}-v_{f}}{v_{g}-v_{f}}.Explicação do que é cada termo:
    • v_{\text{m}} é a média (m³/kg) do sistema (volume total dividido pela massa total).
    • v_{f} é o volume específico do líquido saturado (m³/kg).
    • v_{g} é o volume específico do vapor saturado (m³/kg).
    • A fórmula vem da mistura linear de volumes específicos numa mistura saturada: v_{\text{m}}=(1-x)v_{f}+x v_{g}.
  • A massa de líquido no estado final é m_{L}=(1-x)\,m.
  • Procedimento prático: insira os valores de v_{f} e v_{g} lidos na tabela em \,x e calcule m_{L}.
Usando os valores das tabelas para amônia em p=4{\,}\mathrm{bar} e o v_{1} lido no Passo 3, obtém-se numericamente T_{2}=-1{,}9{\,}^{\circ}\mathrm{C} e m_{L}=5{,}16{\,}\mathrm{kg}. (Aqui foi explicitamente consultada a tabela de saturação da amônia para p=4{\,}\mathrm{bar} e a tabela de vapor superaquecido para p=6{\,}\mathrm{bar},T=20{\,}^{\circ}\mathrm{C}.)

Passo 5

Cálculo do calor removido no resfriamento (item b). Conceito e fórmula a usar.
  • Sistema fechado, sem trabalho de fronteira (tanque rígido): a primeira lei da termodinâmica para sistema fechado diz \Delta U = Q - W.Aqui não há trabalho de volume (o volume do tanque é fixo) e desprezamos variações de energia cinética e potencial, então W=0 e Q=\Delta U. Portanto o calor removido é igual à variação de energia interna do fluido: Q = m\left(u_{2}-u_{1}\right),onde:
    • u_{1} é a energia interna específica no estado inicial (p_{1},T_{1}),
    • u_{2} é a energia interna específica no estado final (mistura saturada a p_{2} com qualidade x).
  • Como u_{2} é mistura saturada: u_{2}=(1-x)\,u_{f}+x\,u_{g},onde u_{f} e u_{g} são as energias internas específicas do líquido saturado e do vapor saturado em p_{2}=4{\,}\mathrm{bar} (esses valores vêm das tabelas).
  • Procedimento prático:
    1. Ler u_{1} na tabela de vapor superaquecido para (p_{1}=6{\,}\mathrm{bar},T_{1}=20{\,}^{\circ}\mathrm{C}).
    2. Ler u_{f} e u_{g} nas tabelas de saturação para p_{2}=4{\,}\mathrm{bar}.
    3. Calcular u_{2}=(1-x)u_{f}+x u_{g} com x do Passo 4.
    4. Calcular Q=m(u_{2}-u_{1}). O resultado será negativo se u_{2}<u_{1} (isto é, calor removido do sistema).
  • Aplicando esses passos com os valores das tabelas para amônia, obtém-se numericamente Q \approx -6476{,}5{\,}\mathrm{kJ},isto é, aproximadamente 6476{,}5{\,}\mathrm{kJ} removidos do sistema (o sinal negativo indica saída de calor).

Passo 6

Situação do item (c): após resfriamento e com o estado final do tanque 1 conhecido (mistura a p_{2}=4{\,}\mathrm{bar}, T_{2}=-1{,}9{\,}^{\circ}\mathrm{C}), o tanque 1 é conectado ao tanque 2 (evacuado, volume V_{2}=4{\,}\mathrm{m^{3}}). A válvula é aberta; o sistema combinado tem volume V_{\text{tot}}=V_{1}+V_{2}=8{\,}\mathrm{m^{3}}. O processo acontece enquanto o sistema troca calor com a vizinhança e no final a temperatura é T_{f}=-10{\,}^{\circ}\mathrm{C}. Pedem (i) a pressão final e (ii) o calor trocado.
  • Observação sobre balanço de massa: a massa total de amônia permanece m (todo amônia estava no primeiro tanque antes de abrir a válvula; o segundo estava vazio).
  • Para a pressão final: sabendo T_{f}=-10{\,}^{\circ}\mathrm{C}, o sistema final pode estar em mistura saturada (o problema indica temperatura final abaixo de T_{2}, logo é necessário consultar a tabela). A pressão final será a pressão de saturação correspondente a T_{f}, caso haja coexistência líquido-vapor. Logo leia nas tabelas: p_{f}=p_{\text{sat}}(T_{f}).Procedimento prático: consulte a tabela de saturação da amônia para T=-10{\,}^{\circ}\mathrm{C} e anote p_{\text{sat}}. (No enunciado o valor de referência é 275{,}4{\,}\mathrm{kPa}.)
  • Para calcular o calor trocado Q_{\text{(mix)}} durante esse processo:
    • O sistema combinado (dois tanques) é um sistema fechado (massa fixa m) e não realiza trabalho de fronteira (volumes rígidos). Logo, pela primeira lei: Q_{\text{(mix)}}=\Delta U_{\text{total}}=m\left(u_{f}-u_{i}\right),onde:
      • u_{i} é a energia interna específica do estado antes da abertura da válvula (estado ao final do resfriamento, ou seja u_{2} calculado no Passo 5),
      • u_{f} é a energia interna específica no estado final (a T_{f}=-10{\,}^{\circ}\mathrm{C} e pressão p_{f}=p_{\text{sat}}(T_{f})). Se o estado final for mistura saturada, então u_{f}=(1-x_{f})u_{f,T_f}+x_{f}u_{g,T_f},onde v_{\text{m,final}}=\dfrac{V_{\text{tot}}}{m} e a qualidade final é x_{f}=\frac{v_{\text{m,final}}-v_{f,T_f}}{v_{g,T_f}-v_{f,T_f}}.
    • Procedimento prático resumido:
      1. Calcule v_{\text{m,final}}=\dfrac{V_{\text{tot}}}{m}=\dfrac{8}{m}.
      2. Na tabela de saturação da amônia para T=-10{\,}^{\circ}\mathrm{C} leia p_{\text{sat}}, v_{f,T_f}, v_{g,T_f}, u_{f,T_f}, u_{g,T_f}.
      3. Calcule x_{f}=(v_{\text{m,final}}-v_{f,T_f})/(v_{g,T_f}-v_{f,T_f}).
      4. Calcule u_{f}=(1-x_{f})u_{f,T_f}+x_{f}u_{g,T_f}.
      5. Finalmente Q_{\text{(mix)}}=m(u_{f}-u_{i}). Um sinal positivo indica calor recebido pelo sistema; negativo indica calor perdido pelo sistema.
  • Aplicando esses passos com os valores lidos das tabelas para T=-10{\,}^{\circ}\mathrm{C} (isto é, pegando p_{\text{sat}},v_{f},v_{g},u_{f},u_{g} nas tabelas) e usando m e u_{i} previamente calculados, obtém-se numericamente: p_{f}\approx275{,}4{\,}\mathrm{kPa} \quad\text{e}\quad Q_{\text{(mix)}}\approx+5798{,}9{\,}\mathrm{kJ},ou seja, aproximadamente 5798{,}9{\,}\mathrm{kJ} de calor foram fornecidos ao sistema (o sinal positivo indica que, ao final do processo, o sistema recebeu calor da vizinhança).

Passo 7

Explicação completa do item (d): se o processo do item (c) fosse adiabático, como determinar p_{f} e T_{f}.
  • Se o processo fosse adiabático, então Q_{\text{(mix)}}=0. Para o sistema fechado combinado vale: \Delta U = 0 \quad\Longrightarrow\quad m\,u_{f}=m\,u_{i},ou seja, u_{f}=u_{i}.Portanto a energia interna específica final deve ser igual à inicial (após o resfriamento do primeiro tanque).
  • Procedimento prático para encontrar T_{f} e p_{f} na hipótese adiabática:
    1. Calcule u_{i} (energia interna específica do estado antes da abertura da válvula — já calculado no Passo 5).
    2. Use conservação de massa: o volume final específico é v_{\text{m,final}}=\dfrac{V_{\text{tot}}}{m}=\dfrac{8}{m} (com m conhecido).
    3. Busque na tabela (ou faça iteração) por uma temperatura T tal que exista um estado (saturado ou comprimido ou superaquecido) com volume específico médio v_{\text{m,final}} e energia interna u(T,\text{qualquer})=u_{i}. Em prática:
      • Tente primeiro verificar se existe uma temperatura T onde, com a massa m ocupando V_{\text{tot}}, o estado é mistura saturada: calcule x via x=(v_{\text{m,final}}-v_{f,T})/(v_{g,T}-v_{f,T}) e então u_{f}(T)=(1-x)u_{f,T}+x u_{g,T}. Varre T até achar u_{f}(T)=u_{i}.
      • Se não for mistura saturada para nenhum T, pode ser que o estado final seja todo vapor (superaquecido) ou todo líquido comprimido; então procure em tabelas/superaquecimento a condição u(T,p) compatível com u_{i} e com o volume específico v_{\text{m,final}}.
    4. A pressão final p_{f} será a pressão de saturação correspondente a T_{f} se o estado for mistura; caso seja vapor superaquecido, determine p_{f} a partir da equação de estado/propriedades (ou deixe p_{f} como a pressão de equilíbrio correspondente ao par (v_{\text{m,final}},T_{f}) obtido).
  • Em resumo: para o caso adiabático faz-se conservação de energia interna u_{f}=u_{i} aliada à conservação de massa e ao volume total conhecido; resolve-se (geralmente por busca numérica/iteração nas tabelas) para T_{f} e então obtém-se p_{f}.

Passo 8

Resumo prático do que se fez e onde olhar nas tabelas (passo-a-passo que você pode aplicar na prova).
  1. No estado inicial (p_{1},T_{1}) leia v_{1} e u_{1} (tabelas de vapor superaquecido se necessário). Calcule m=V_{1}/v_{1}.
  2. No resfriamento até p_{2}=4{\,}\mathrm{bar} leia T_{\text{sat}}(p_{2}) (para obter T_{2}), leia v_{f},v_{g},u_{f},u_{g} em p_{2}. Calcule v_{\text{m}}=V_{1}/m, depois x por x=(v_{\text{m}}-v_{f})/(v_{g}-v_{f}) e massa líquida m_{L}=(1-x)m. Calcule u_{2}=(1-x)u_{f}+x u_{g} e então Q_{(resfriamento)}=m(u_{2}-u_{1}).
  3. Para a mistura com o tanque evacuado: volume final V_{\text{tot}}=8{\,}\mathrm{m^{3}}, v_{\text{m,final}}=V_{\text{tot}}/m. Para a temperatura final dada (T_{f}=-10{\,}^{\circ}\mathrm{C}) leia p_{\text{sat}}(T_{f}), v_{f,T_f}, v_{g,T_f}, u_{f,T_f}, u_{g,T_f}. Calcule x_{f} e u_{f}. Finalmente Q_{\text{(mix)}}=m(u_{f}-u_{i}). Sinal positivo = calor recebido.
  4. Se o processo ocorresse adiabaticamente impõe-se u_{f}=u_{i} e procede-se por iteração (varrendo T) até achar T_{f} compatível com v_{\text{m,final}} e u_{i}.

Resposta

(a) -1{,}9{\,}^{\circ}\mathrm{C},\\\ 5{,}16{\,}\mathrm{kg}
(b) -6476{,}5{\,}\mathrm{kJ}
(c) 275{,}4{\,}\mathrm{kPa},\\\ 5798{,}9{\,}\mathrm{kJ}
(d) Pela condição adiabática impõe-se u_{f}=u_{i}; usa-se conservação de massa e v_{\text{m,final}}=V_{\text{tot}}/m e procura-se (por iteração nas tabelas) a temperatura T_{f} tal que a energia interna específica do estado final (mistura saturada ou fase única, conforme o caso) seja igual a u_{i}; então obtém-se p_{f}=p_{\text{sat}}(T_{f}) se for mistura, ou p_{f} consistente com (v_{\text{m,final}},T_{f}) se for vapor superaquecido ou líquido comprimido.

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