Considere a seguinte função de transferência:
\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+6}{s^{2}+5 s+6}
Obtenha a representação no espaço de estados desse sistema na forma canônica controlável

Passo 1

O enunciado pede a forma canônica controlável da função de transferência
\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{s + 6}{s^2 + 5s + 6}.
Para isso, vamos usar a forma de companheira (companion form): construímos a matriz A a partir dos coeficientes do denominador monicizado, escolhemos B padrão e depois determinamos C de modo que o numerador seja reproduzido.

Passo 2

Escrevendo o denominador
s^2 + 5s + 6,
temos os coeficientes \alpha_1 = 5 e \alpha_2 = 6. A forma canônica controlável para segunda ordem dá
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[6pt] -6 & -5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\[3pt] 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para encontrar C = \bigl(c_1\;\;c_2\bigr), exigimos
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} \;=\; C\,(sI - A)^{-1}B.
Calculando a matriz adjunta de sI - A e multiplicando por B obtém-se
(sI - A)^{-1}B = \frac{1}{s^2+5s+6} \begin{pmatrix} 1 \\[3pt] s \end{pmatrix}.
Assim o numerador efetivo é
N(s) = C \begin{pmatrix} 1 \\[3pt] s \end{pmatrix} = c_1 + c_2\,s.
Como queremos N(s)=s+6, igualamos coeficientes para achar
c_2 = 1, \quad c_1 = 6.]

Passo 4

Portanto a saída fica
y = C\,x \quad\text{com}\quad C = \begin{pmatrix}6 & 1\end{pmatrix}.

Resposta

A representação no espaço de estados na forma canônica controlável é
\dot x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[6pt] -6 & -5 \end{pmatrix}x + \begin{pmatrix} 0 \\[3pt] 1 \end{pmatrix}u, \qquad y = \begin{pmatrix}6 & 1\end{pmatrix}x.]