Considere o sistema definido por:
B.10.1
onde
Transforme as equações do sistema para (a) forma canônica controlável e (b) forma canônica observável.
B.10.1
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
com
Queremos (a) a forma canônica controlável e (b) a forma canônica observável. Para isso precisamos da polinomial característica de
, da matriz de controlabilidade e da matriz de observabilidade.
Passo 2
Calculamos a polinomial característica de
. Como
é bloco-diagonal (um bloco
mais
),
Expandindo,
Logo, se escrevermos
temos
,
,
.
Passo 3
Para a forma canônica controlável usamos a matriz de controlabilidade
Primeiro
Então
Como
é invertível, o sistema é completamente controlável.
Passo 4
Escolhemos a transformação de estados
Então
Pelo formato canônico de controle (companion form) e pelos coeficientes
temos diretamente
e
Logo, na forma canônica controlável:
Passo 5
Para a forma canônica observável usamos a matriz de observabilidade
Já temos
. Calculamos
Então
que também é invertível (sistema totalmente observável).
Passo 6
Definimos
logo
Na forma canônica observável (companion form transposto) ficamos com
Isto corresponde a escolher
, de modo que
.
Resposta
(a) Forma canônica controlável:
(b) Forma canônica observável: