Considere o sistema definido por:
B.10.1
\begin{gathered} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A} \mathbf{x}+\mathbf{B} u \\\ y=\mathbf{C} \mathbf{x} \end{gathered}
onde
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right], \quad \mathbf{B}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right], \quad \mathbf{C}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
Transforme as equações do sistema para (a) forma canônica controlável e (b) forma canônica observável.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{gathered} \dot x = A\,x + B\,u,\\\ y = C\,x, \end{gathered}
com
A=\begin{pmatrix}-1&0&1\\\ 1&-2&0\\\ 0&0&-3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}.
Queremos (a) a forma canônica controlável e (b) a forma canônica observável. Para isso precisamos da polinomial característica de A, da matriz de controlabilidade e da matriz de observabilidade.

Passo 2

Calculamos a polinomial característica de A. Como A é bloco-diagonal (um bloco 2\times2 mais -3),
p(s)=\det(sI-A)=(s+3)\det\begin{pmatrix}s+1&0\\\ -1&s+2\end{pmatrix} =(s+3)\bigl((s+1)(s+2)\bigr) =(s+1)(s+2)(s+3).
Expandindo,
p(s)=s^3+6\,s^2+11\,s+6.
Logo, se escrevermos
p(s)=s^3 + a_2\,s^2 + a_1\,s + a_0,
temos a_2=6, a_1=11, a_0=6.

Passo 3

Para a forma canônica controlável usamos a matriz de controlabilidade
\mathcal{C} = \bigl[\,B\;\;A\,B\;\;A^2 B\bigr].
Primeiro
A\,B = A\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix},\quad A^2B = A\,(A\,B) =\begin{pmatrix}-4\\\ 1\\\ 9\end{pmatrix}.
Então
\mathcal{C}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -4\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 1 & -3 & 9 \end{pmatrix}.
Como \mathcal{C} é invertível, o sistema é completamente controlável.

Passo 4

Escolhemos a transformação de estados
x_c = T^{-1}x,\quad T=\bigl[A^2B\;\;A B\;\;B\bigr] =\begin{pmatrix}-4&1&0\\\ 1&0&0\\\ 9&-3&1\end{pmatrix}.
Então
A_c = T^{-1}A\,T,\quad B_c=T^{-1}B,\quad C_c = C\,T.
Pelo formato canônico de controle (companion form) e pelos coeficientes a_2,a_1,a_0 temos diretamente
A_c = \begin{pmatrix} 0&1&0\\\\ 0&0&1\\\\ -6&-11&-6 \end{pmatrix},\quad B_c=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
e
C_c = C\,T = \begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-4&1&0\\\ 1&0&0\\\ 9&-3&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3&1&0\end{pmatrix}.
Logo, na forma canônica controlável:
\dot x_c = \begin{pmatrix} 0&1&0\\\\ 0&0&1\\\\ -6&-11&-6 \end{pmatrix}x_c +\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}u, \quad y = \begin{pmatrix}-3&1&0\end{pmatrix}x_c.

Passo 5

Para a forma canônica observável usamos a matriz de observabilidade
\mathcal{O} = \begin{pmatrix} C\\\ C\,A\\\ C\,A^2 \end{pmatrix}.
Já temos C=[\,1\;1\;0]. Calculamos
C\,A = [\,1\;1\;0]\, \begin{pmatrix}-1&0&1\\\ 1&-2&0\\\ 0&0&-3\end{pmatrix} =[\,0\;-2\;1],
A^2 = \begin{pmatrix}1&0&-4\\\ -3&4&1\\\ 0&0&9\end{pmatrix}, \quad C\,A^2 = [\,1\;1\;0]\,A^2=[\,-2\;4\;-3].
Então
\mathcal{O}=\begin{pmatrix} 1&1&0\\\\ 0&-2&1\\\\ -2&4&-3 \end{pmatrix},
que também é invertível (sistema totalmente observável).

Passo 6

Definimos
x_o = \mathcal{O}\,x,
logo
\dot x_o = \mathcal{O}\,A\,\mathcal{O}^{-1}\,x_o + \mathcal{O}\,B\,u, \quad y = C\,\mathcal{O}^{-1}\,x_o.
Na forma canônica observável (companion form transposto) ficamos com
A_o = \begin{pmatrix} 0&0&-6\\\\ 1&0&-11\\\\ 0&1&-6 \end{pmatrix},\quad B_o = \mathcal{O}\,B = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix}, \quad C_o = \begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}.
Isto corresponde a escolher x_o=(y,\dot y,\ddot y)^T, de modo que y=[1\;0\;0]\,x_o.

Resposta

(a) Forma canônica controlável:
\dot x_c = \begin{pmatrix} 0&1&0\\\\ 0&0&1\\\\ -6&-11&-6 \end{pmatrix}x_c +\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}u, \quad y = \begin{pmatrix}-3&1&0\end{pmatrix}x_c.
(b) Forma canônica observável:
\dot x_o = \begin{pmatrix} 0&0&-6\\\\ 1&0&-11\\\\ 0&1&-6 \end{pmatrix}x_o +\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix}u, \quad y = \begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}x_o.