B.5.1 Um termômetro requer 1 minuto para indicar 98% da resposta a uma entrada em degrau. Supondo que o termômetro seja um sistema de primeira ordem, determine a constante de tempo.
Se o termômetro for imerso em um banho, cuja temperatura muda linearmente a uma taxa de 10^{\circ} / \mathrm{min}, qual será o erro apresentado pelo termômetro?

Passo 1

O enunciado diz que temos um termômetro que se comporta como um sistema de primeira ordem e que leva 1 minuto para atingir 98 % da resposta a um degrau de temperatura. Precisamos:
– determinar a constante de tempo \tau desse sistema;
– calcular o erro de medição quando o termômetro é exposto a uma rampa de temperatura de 10\\ ^\circ\mathrm{C}/\min.

Passo 2

Para um sistema de primeira ordem com ganho unitário, a resposta ao degrau unitário é
y(t) = 1 - e^{-t/\tau}.
Queremos que y(1)=0,98. Logo,
1 - e^{-1/\tau} = 0,98 \quad\Longrightarrow\quad e^{-1/\tau} = 0,02.

Passo 3

Para encontrar \tau, tomamos logaritmo:
-\,\frac{1}{\tau} = \ln(0,02) \quad\Longrightarrow\quad \tau = -\frac{1}{\ln(0,02)}.
Numericamente,
\ln(0,02)\approx -3,9120 \quad\Longrightarrow\quad \tau \approx \frac{1}{3,9120}\approx 0,256\\ \min.

Passo 4

Quando a entrada é uma rampa de inclinação r r=10\\ ^\circ\mathrm{C}/\min, a saída de um sistema de primeira ordem tende a seguir
y(t) = r\Bigl(t - \tau + \tau e^{-t/\tau}\Bigr).
O erro de regime permanente é
e_{\mathrm{ss}} = \lim_{t\to\infty} \bigl[r\,t - y(t)\bigr] = r\,\tau.

Passo 5

Substituindo r=10\\ ^\circ\mathrm{C}/\min e \tau\approx0,256\\ \min, temos
e_{\mathrm{ss}} = 10 \times 0,256 \approx 2,56\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

Constante de tempo: \tau \approx 0,256\\ \min.
Erro em rampa de 10\\ ^\circ\mathrm{C}/\min: aproximadamente 2,56\\ ^\circ\mathrm{C}.