Sobre a transformada de Laplace:
Qual a transformada de Laplace de uma convolução entre dois sinais?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a propriedade da transformada de Laplace relativa à convolução de dois sinais causais f(t) e g(t). O conteúdo principal é a definição de convolução e o uso da propriedade de troca de ordem de integração para a transformada de Laplace.

Passo 2

Vamos lembrar que a convolução de f e g é dada por
(f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau,
e a transformada de Laplace de um sinal h(t) é
\mathcal{L}\{h(t)\}(s) = \int_{0}^{\infty} h(t)\,e^{-s t}\,dt.
Aplicando essa definição a h(t) = (f * g)(t), escrevemos
\mathcal{L}\{f * g\}(s) = \int_{0}^{\infty} \Bigl[\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau\Bigr] e^{-s t}\,dt.

Passo 3

Agora usamos a propriedade de Fubini/Tonelli para trocar a ordem de integração no domínio \{0\le\tau\le t<\infty\}. Isso dá
\mathcal{L}\{f * g\}(s) = \int_{0}^{\infty} f(\tau)\,\Bigl[\int_{\tau}^{\infty} g(t-\tau)\,e^{-s t}\,dt\Bigr]\,d\tau.
Em seguida, fazemos a mudança de variável interna u = t - \tau, que implica t = u + \tau e dt = du. Quando t vai de \tau a \infty, u vai de 0 a \infty. Assim,
\int_{\tau}^{\infty} g(t-\tau)\,e^{-s t}\,dt = \int_{0}^{\infty} g(u)\,e^{-s(u+\tau)}\,du = e^{-s\tau}\,\int_{0}^{\infty} g(u)\,e^{-s u}\,du.

Passo 4

Substituindo de volta,
\mathcal{L}\{f * g\}(s) = \int_{0}^{\infty} f(\tau)\,e^{-s\tau}\,d\tau \;\times\;\int_{0}^{\infty} g(u)\,e^{-s u}\,du.
Reconhecemos cada integral como a transformada de Laplace de f e de g, respectivamente. Logo,
\mathcal{L}\{f * g\}(s) = F(s)\,G(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s) e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s).

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f * g\}(s) = F(s)\,G(s).

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