Um solo tem massa específica aparente de 1,91 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e umidade de 9,5 \%. O valor de Gs é de 2,70 . Calcule o índice de vazios e o grau de saturação do solo. Quais seriam os valores de massa específica aparente e o teor de umidade se o solo estivesse completamente saturado com o mesmo índice de vazios?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente as infos dadas e o que é pedido):
  • Dados fornecidos:
    • massa específica aparente (densidade úmida do solo): \rho = 1,91\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    • teor de umidade: w = 9,5\%.
    • gravidade específica dos sólidos: G_s = 2,70.
  • Perguntas:
    1. Calcular o índice de vazios e.
    2. Calcular o grau de saturação S_r.
    3. Se o solo estivesse completamente saturado ( S_r=1) mantendo o mesmo índice de vazios e, quais seriam:
      • a massa específica aparente \rho_{\text{sat}} (ou seja, a densidade úmida quando saturado);
      • o teor de umidade w_{\text{sat}}.

Passo 2

Vou explicar as fórmulas e conceitos que vou usar (passo-a-passo, sem pular nada):
  • Definições e relações básicas:
    • w (teor de umidade, em razão por unidade de massa de sólidos) é w=\frac{M_w}{M_s},onde M_w é a massa de água e M_s é a massa de sólidos.
    • Gravidade específica dos sólidos G_s é a razão entre a massa específica dos sólidos \rho_s e a massa específica da água \rho_w: G_s=\frac{\rho_s}{\rho_w}.Usualmente toma-se \rho_w=1{,}0\\ \mathrm{g/cm^3}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Volume dos sólidos: V_s=\frac{M_s}{\rho_s}.
    • Volume de água: V_w=\frac{M_w}{\rho_w}.
    • Volume total do corpo de prova: V=V_s+V_v,onde V_v é o volume de vazios (ar + água).
    • Índice de vazios (void ratio): e=\frac{V_v}{V_s}.
    • Grau de saturação: S_r=\frac{V_w}{V_v}.
    • Massa específica aparente (densidade úmida) é \rho=\frac{M_s+M_w}{V}.
  • Estratégia prática para calcular e e S_r:
    • É muito conveniente tomar M_s=1\\ \mathrm{kg} (uma unidade de massa de sólidos). Com isso calculo M_w=w\cdot M_s, V_s, V_w, V (usando \rho conhecido) e daí V_v=V-V_s, e=V_v/V_s e S_r=V_w/V_v.
    • Todas as conversões de unidades serão feitas para o SI: 1{,}91\\ \mathrm{g/cm^3}=1910\\ \mathrm{kg/m^3}, \rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, \rho_s=G_s\cdot\rho_w.

Passo 3

Conversões numéricas e valores iniciais (colocando tudo no SI):
  • Converter a massa específica aparente: \rho = 1{,}91\\ \mathrm{g/cm^3} = 1910\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Dado w=9{,}5\%, em razão: w=0{,}095.
  • Gravidade específica dá a massa específica dos sólidos: \rho_s = G_s\cdot\rho_w = 2{,}70 \times 1000\\ \mathrm{kg/m^3} = 2700\\ \mathrm{kg/m^3}.
Agora tomo M_s=1\\ \mathrm{kg} (conveniente para contas manuais):
  • Massa de água presente: M_w = w\cdot M_s = 0{,}095\times 1 = 0{,}095\\ \mathrm{kg}.
  • Volume dos sólidos: V_s=\frac{M_s}{\rho_s}=\frac{1}{2700}\\ \mathrm{m^3}=0{,}000370370\ldots\\ \mathrm{m^3}.
  • Volume da água presente: V_w=\frac{M_w}{\rho_w}=\frac{0{,}095}{1000}\\ \mathrm{m^3}=0{,}000095\\ \mathrm{m^3}.
  • Volume total (a partir da densidade aparente \rho): V=\frac{M_s+M_w}{\rho}=\frac{1+0{,}095}{1910}\\ \mathrm{m^3}=\frac{1{,}095}{1910}\\ \mathrm{m^3}=0{,}000573036\ldots\\ \mathrm{m^3}.

Passo 4

Cálculo do volume de vazios e do índice de vazios e:
  • Volume de vazios: V_v = V - V_s = 0{,}000573036\ldots - 0{,}000370370\ldots = 0{,}000202666\ldots\\ \mathrm{m^3}.
  • Índice de vazios: e=\frac{V_v}{V_s}=\frac{0{,}000202666\ldots}{0{,}000370370\ldots}=0{,}5472\ldotsArredondando de forma razoável, e\approx 0{,}547.
(Se quiser conferir: a porosidade n=\dfrac{e}{1+e}\approx 0{,}3536 ou 35{,}4\%, só para referência.)

Passo 5

Cálculo do grau de saturação S_r:
  • Usando V_w e V_v já calculados: S_r=\frac{V_w}{V_v}=\frac{0{,}000095}{0{,}000202666\ldots}=0{,}4689\ldotsEm percentagem, S_r\approx 46{,}9\%.

Passo 6

Cenário saturado com o mesmo índice de vazios e (ou seja, S_r=1 e e mantido):
  • Mantendo M_s=1\\ \mathrm{kg} e V_s=1/2700\\ \mathrm{m^3} (valor já calculado), o volume de vazios para o mesmo e vale V_v^{(\text{sat})}=e\cdot V_s = 0{,}5472\ldots\times 0{,}000370370\ldots = 0{,}000202666\ldots\\ \mathrm{m^3}.(é o mesmo V_v que já tínhamos, claro.)
  • Como saturado, o volume de água será V_w^{(\text{sat})}=V_v^{(\text{sat})}=0{,}000202666\ldots\\ \mathrm{m^3}.
  • Massa de água no estado saturado: M_w^{(\text{sat})} = V_w^{(\text{sat})}\cdot\rho_w = 0{,}000202666\ldots \times 1000 = 0{,}202666\ldots\\ \mathrm{kg}.
  • Teor de umidade no estado saturado: w_{\text{sat}}=\frac{M_w^{(\text{sat})}}{M_s}=0{,}202666\ldots \quad\text{ou seja}\quad w_{\text{sat}}\approx 0{,}2027=20{,}27\%.
  • Massa total no estado saturado: M_{\text{tot}}^{(\text{sat})}=M_s+M_w^{(\text{sat})}=1+0{,}202666\ldots=1{,}202666\ldots\\ \mathrm{kg}.
  • Volume total permanece V=V_s+V_v=0{,}000573036\ldots\\ \mathrm{m^3} (já calculado).
  • Massa específica aparente saturada: \rho_{\text{sat}}=\frac{M_{\text{tot}}^{(\text{sat})}}{V}=\frac{1{,}202666\ldots}{0{,}000573036\ldots}=2099{,}5\\ \mathrm{kg/m^3}.Em unidades usuais de laboratório: \rho_{\text{sat}}\approx 2{,}10\\ \mathrm{g/cm^3}.

Resposta

e = 0{,}547
S_r = 0{,}469 (ou 46{,}9\%)
\rho_{\text{sat}} = 2{,}10\\ \mathrm{g/cm^3}
w_{\text{sat}} = 20{,}27\%