Ar é submetido a um processo isentrópico de 1 \mathrm{~atm}, 27^{\circ} \mathrm{C} até um estado final em que a temperatura é 377^{\circ} \mathrm{C}. Utilizando o modelo de gás ideal, determine a pressão final em atm utilizando:
dados de pr da tabela A22 (tabela ar como gás ideal) (calor específico variável)

Passo 1

O enunciado pede a pressão final quando ar sofre um processo isentrópico (entropia constante) partindo de pressão inicial p_1=1\\ \mathrm{atm} e temperatura inicial 27^\circ\mathrm{C} até temperatura final 377^\circ\mathrm{C}. Vou listar os dados que já temos, convertendo para Kelvin:
p_1 = 1\\ \mathrm{atm}
T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273{,}15 = 300{,}15\\ \mathrm{K}
T_2 = 377^\circ\mathrm{C} = 377 + 273{,}15 = 650{,}15\\ \mathrm{K}
O enunciado pede que seja usado o modelo de gás ideal e que se leve em conta calor específico variável (usar dados da tabela A22 — tabela do ar como gás ideal). Importante: você mencionou a tabela A22, mas ela não foi enviada aqui. Como a tabela A22 contém os valores tabulados de c_p(T) ou de entropia específica s^\circ(T) que permitem calcular exatamente a integral \int_{T_1}^{T_2} \frac{c_p(T)}{T}\,dT, eu teria que usá‑la para obter o resultado numérico exato recomendado pelo enunciado. Como não recebi a tabela A22, eu vou:
  • Explicar o método correto que usa a tabela (exatamente como você faria na prova).
  • Fazer uma aproximação numérica razoável usando valores típicos de c_p do ar (isto dá um resultado aproximado). Aviso que o resultado final numérico ficará com pequena imprecisão em relação ao uso direto da tabela A22.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar — entropia para gás ideal com c_p variável.
Para um gás ideal a entropia específica é dada por
s(T,p)=s^\circ(T)-R\ln\!\bigg(\frac{p}{p^\circ}\bigg),
onde
  • s^\circ(T) é a entropia específica padrão dependente só de T (valor que você encontra em tabelas como a A22, normalmente referida a p^\circ=1\\ \mathrm{atm});
  • R é a constante específica do gás (para o ar: R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)});
  • p é a pressão na qual se avalia a entropia.
Num processo isentrópico entre os estados 1 e 2 temos s_1=s_2. Usando a forma acima:
s^\circ(T_1)-R\ln\!\bigg(\frac{p_1}{p^\circ}\bigg)=s^\circ(T_2)-R\ln\!\bigg(\frac{p_2}{p^\circ}\bigg).
Cancelando p^\circ e rearranjando obtemos a relação útil
\ln\!\bigg(\frac{p_2}{p_1}\bigg)=\frac{s^\circ(T_2)-s^\circ(T_1)}{R}.
Como s^\circ(T_2)-s^\circ(T_1)=\displaystyle\int_{T_1}^{T_2}\frac{c_p(T)}{T}\,dT, a fórmula final que usaremos é
\boxed{p_2 = p_1 \exp\!\left(\dfrac{1}{R}\displaystyle\int_{T_1}^{T_2}\frac{c_p(T)}{T}\,dT\right).}
Explicação das variáveis para você decorar na prova:
  • p_1 e p_2: pressões inicial e final (unidade: atm ou Pa, contanto que você seja consistente);
  • T_1 e T_2: temperaturas absoluta em K;
  • c_p(T): calor específico a pressão constante do ar, função da temperatura (unidade: \mathrm{kJ/(kg\cdot K)});
  • R: constante específica do ar, R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Na prática de prova: ou você usa a tabela A22 para obter diretamente s^\circ(T_2) e s^\circ(T_1) (mais simples), ou integra numericamente a tabela de c_p(T) para obter \int c_p/T\,dT.

Passo 3

Como a tabela A22 não foi fornecida aqui, vou estimar numericamente a integral \displaystyle\int_{T_1}^{T_2}\frac{c_p(T)}{T}\,dT usando valores típicos de c_p do ar em T_1 e T_2 e a aproximação do valor médio (regra do trapézio simplificada). Isso é didático e dá boa aproximação; na prova, substitua por valores da A22 para maior precisão.
Valores típicos (tabelas usuais) do calor específico do ar:
c_p(T_1=300{,}15\\ \mathrm{K}) \approx 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
c_p(T_2=650{,}15\\ \mathrm{K}) \approx 1{,}160\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
(esses números são aproximações retiradas de tabelas padrão; se você usar a A22, pegue exatamente os valores lá.)
Calcule a média aproximada:
c_{p,\text{méd}}=\frac{1{,}005+1{,}160}{2}=1{,}0825\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.é
Agora calcule a integral aproximada usando \displaystyle\int_{T_1}^{T_2}\frac{c_p(T)}{T}\,dT \approx c_{p,\text{méd}}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)é.
Compute as razões:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{650{,}15}{300{,}15}\approx 2{,}1661,
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\approx 0{,}77306.
Portanto
\Delta s = \int_{T_1}^{T_2}\frac{c_p(T)}{T}\,dT \approx 1{,}0825 \times 0{,}77306 = 0{,}83699\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula para p_2. Usando R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}:
\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)=\frac{\Delta s}{R}=\frac{0{,}83699}{0{,}287}=2{,}917.
Logo
\frac{p_2}{p_1}=\exp(2{,}917)\approx 18{,}45.
Como p_1=1\\ \mathrm{atm},
p_2 \approx 18{,}45\\ \mathrm{atm}.
Interpretação e observação prática: esse valor é uma aproximação obtida usando cp médio. Se você usar os valores de s^\circ(T) diretamente da tabela A22 (ou integrar com os c_p tabulados ponto a ponto), obterá o resultado mais exato pedido pelo enunciado. A diferença típica entre essa aproximação e o cálculo com a tabela pode ser pequena (alguns por cento), mas para prova use os números da A22 para precisão.

Resposta

p_2 \approx 18{,}45\\ \mathrm{atm}

Exercícios relacionados