Uma substância pura está contida em um recipiente de volume rígido a 300 K e 1 bar. Existe equilíbrio líquido-vapor e o sistema é aquecido até que a pressão seja igual a 21 bar. O equilíbrio líquido-vapor é mantido durante todo o processo. Para todo este problema: admita que a entalpia de vaporização é constante e igual a 16,628 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} e que o volume molar do líquido é muito pequeno frente ao do vapor.
Qual deve ser a temperatura se considerarmos que o volume do vapor é bem representado pela equação do GI?

Passo 1

O enunciado dá um sistema em equilíbrio líquido–vapor num volume rígido, inicialmente em 300\\ \mathrm{K} e 1\\ \mathrm{bar}. O sistema é aquecido mantendo o equilíbrio líquido–vapor até que a pressão de equilíbrio atinja 21\\ \mathrm{bar}. Pedem a temperatura final se o volume do vapor for bem representado pela equação do gás ideal (GI).
Informações relevantes dadas:
  • Temperatura inicial: T_1 = 300\\ \mathrm{K}.
  • Pressão inicial: p_1 = 1\\ \mathrm{bar}.
  • Pressão final: p_2 = 21\\ \mathrm{bar}.
  • Entalpia de vaporização (constante): \Delta H_{vap} = 16{,}628\\ \mathrm{kJ/mol}.
  • Volume molar do líquido é desprezível em relação ao do vapor.
  • Aproximação pedida: o vapor satisfaz a equação do gás ideal.

Passo 2

Qual equação vamos usar? A relação fundamental para variação de pressão de vapor com temperatura em equilíbrio líquido–vapor é a equação de Clapeyron:
\frac{dp}{dT}=\frac{\Delta H_{vap}}{T\Delta V},
onde:
  • p é a pressão de equilíbrio de vapor,
  • T é a temperatura absoluta,
  • \Delta H_{vap} é a entalpia molar de vaporização (energia por mol para transformar líquido em vapor),
  • \Delta V é a variação do volume molar ao vaporizar (por mol): \Delta V = V_{vapor}-V_{liquido}.
Pelo enunciado, o volume molar do líquido é desprezível, então \Delta V \approx V_{vapor}. Se o vapor é bem descrito pelo gás ideal, então o volume molar do vapor é
V_{vapor} \approx \frac{R T}{p},
onde R é a constante universal dos gases.

Passo 3

Substituindo \Delta V \approx \dfrac{R T}{p} na equação de Clapeyron obtemos:
\frac{dp}{dT}=\frac{\Delta H_{vap}}{T}\cdot\frac{p}{R T}=\frac{\Delta H_{vap}\,p}{R T^{2}}.
Rearranjando para separar variáveis:
\frac{dp}{p}=\frac{\Delta H_{vap}}{R}\frac{dT}{T^{2}}.
Esta é a forma que podemos integrar entre o estado inicial (p_1,T_1) e o final (p_2,T_2), assumindo \Delta H_{vap} constante.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{p}=\frac{\Delta H_{vap}}{R}\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T^{2}}.
As integrais dão
\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)=\frac{\Delta H_{vap}}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right).
Isolando 1/T_2:
\frac{1}{T_2}=\frac{1}{T_1}-\frac{R}{\Delta H_{vap}}\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).
Esta fórmula é a forma integrada da aproximação de Clausius–Clapeyron (com \Delta H constante e vapor ideal). Explicando variáveis:
  • R é a constante dos gases, R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • \Delta H_{vap} deve estar em \mathrm{J/mol}.
  • Pressões p_1,p_2 entram apenas na razão \dfrac{p_2}{p_1} (qualquer unidade consistente cancela).

Passo 5

Convertemos unidades e calculamos os termos numéricos.
\Delta H_{vap}=16{,}628\\ \mathrm{kJ/mol}=16628\\ \mathrm{J/mol}.
Constante dos gases:
R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Razão de pressões:
\frac{p_2}{p_1}=\frac{21}{1}=21,\qquad \ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)=\ln(21)\approx 3{,}044522.
Calculamos o fator \dfrac{R}{\Delta H_{vap}}:
\frac{R}{\Delta H_{vap}}=\frac{8{,}314462618}{16628}\approx 0{,}000500126.
Multiplicando pelo logaritmo:
\frac{R}{\Delta H_{vap}}\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)\approx 0{,}000500126\times 3{,}044522 \approx 0{,}001522645.

Passo 6

Agora aplicamos na expressão para 1/T_2:
\frac{1}{T_2}=\frac{1}{300}-0{,}001522645.
Calculando:
\frac{1}{300}=0{,}003333333\ldots
\frac{1}{T_2}\approx 0{,}003333333-0{,}001522645=0{,}001810688.
Portanto
T_2=\frac{1}{0{,}001810688}\approx 552{,}3\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Interpretação breve e nota prática para prova: a temperatura de saturação aumentou de 300\\ \mathrm{K} para cerca de 552\\ \mathrm{K} quando a pressão de equilíbrio subiu de 1\\ \mathrm{bar} para 21\\ \mathrm{bar}. A principal aproximação aqui foi tratar o vapor como gás ideal e assumir \Delta H_{vap} constante; para pressões moderadamente altas (várias dezenas de bar) isso já dá uma estimativa razoável, mas à pressão muito alta seria necessário usar equações reais de estado (ou tabelas de vapor) porque o comportamento deixa de ser ideal.

Resposta

T_2 \approx 552{,}3\\ \mathrm{K}

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