Uma substância pura está contida em um recipiente de volume rígido a 300 K e 1 bar. Existe equilíbrio líquido-vapor e o sistema é aquecido até que a pressão seja igual a 21 bar. O equilíbrio líquido-vapor é mantido durante todo o processo. Para todo este problema: admita que a entalpia de vaporização é constante e igual a 16,628 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} e que o volume molar do líquido é muito pequeno frente ao do vapor.
Qual deve ser a temperatura se o volume do vapor for representado por uma equação tipo virial com 2 termos Z=1+B^{\prime} P, onde B^{\prime}=-110^{-7} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{J}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumido e claro):
  • Estado inicial: temperatura T_1 = 300\\ \mathrm{K} e pressão P_1 = 1\\ \mathrm{bar}.
  • Estado final: pressão P_2 = 21\\ \mathrm{bar}. Atinge-se esse estado por aquecimento em recipiente de volume rígido mantendo equilíbrio líquido–vapor durante todo o processo.
  • Dados/adições: entalpia de vaporização constante \Delta H_{\mathrm{vap}} = 16{,}628\\ \mathrm{kJ/mol} (vou usar \Delta H = 16628\\ \mathrm{J/mol}); volume molar do líquido desprezível frente ao do vapor; equação tipo virial de segunda ordem expressa por Z = 1 + B' P,com B' = -1\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}/J} (assumo que o enunciado quis dizer esse valor).
  • O que é pedido: a temperatura final T_2 quando a pressão chega a 21\\ \mathrm{bar}.
Observações práticas antes de começar:
  • Usarei pressões em pascal (Pa) para consistência com unidades de B': 1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Assim P_1=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e P_2=21{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=2{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • A constante dos gases será \;R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar: equação de Clapeyron/Clausius–Clapeyron para equilíbrio líquido–vapor.
Explicação didática curta: para um equilíbrio líquido–vapor, a forma diferencial da equação de Clapeyron é
\frac{dP}{dT}=\frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{T\Delta V},
onde \Delta V é a variação do volume molar entre vapor e líquido (aqui \Delta V \approx V_{\mathrm{vap}} porque o volume do líquido é desprezível) e \Delta H_{\mathrm{vap}} é a entalpia molar de vaporização. Essa equação relaciona como a pressão de vapor muda com a temperatura quando há mudança de fase.
No caso em que \Delta H_{\mathrm{vap}} é aproximadamente constante, essa equação pode ser integrada se soubermos como \Delta V depende de P e T.

Passo 3

Expressão do volume molar do vapor usando a equação virial dada.
Lembrando a definição do fator de compressibilidade:
Z=\frac{P V_m}{R T},
onde V_m é o volume molar do vapor. Com Z=1+B'P vem
V_m = \frac{Z R T}{P} = \frac{(1+B'P) R T}{P}.
Como o volume do líquido é desprezível, \Delta V \approx V_m. Posso reorganizar:
\Delta V = R T\left(\frac{1}{P}+B'\right).
Explicação da forma: o termo \dfrac{R T}{P} é o volume molar ideal e o termo B' R T é a correção da segunda ordem da expansão virial (dependendo linearmente de P quando escrito em forma Z=1+B'P).

Passo 4

Substituir \Delta V na equação de Clausius–Clapeyron e separar variáveis.
Começo com
\frac{dP}{dT}=\frac{\Delta H}{T\,\Delta V} =\frac{\Delta H}{T\cdot R T\left(\dfrac{1}{P}+B'\right)} =\frac{\Delta H}{R T^{2}}\cdot\frac{1}{\dfrac{1}{P}+B'}.
Notando que \dfrac{1}{\dfrac{1}{P}+B'}=\dfrac{P}{1+B'P}, obtemos
\frac{dP}{dT}=\frac{\Delta H}{R T^{2}}\cdot\frac{P}{1+B'P}.
Agora separo variáveis P de um lado e T do outro:
\frac{1+B'P}{P}\,dP = \frac{\Delta H}{R}\,\frac{dT}{T^{2}}.

Passo 5

Integrar entre os estados inicial e final.
Integro de P_1 a P_2 e de T_1 a T_2:
\int_{P_1}^{P_2}\left(\frac{1}{P}+B'\right)\,dP = \int_{T_1}^{T_2}\frac{\Delta H}{R}\,T^{-2}\,dT.
As integrais são simples:
\left[\ln P + B' P\right]_{P_1}^{P_2} = \frac{\Delta H}{R}\left[-\frac{1}{T}\right]_{T_1}^{T_2}.
Isso dá a relação fechada
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) + B'(P_2-P_1) = \frac{\Delta H}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right).
Essa é a fórmula que permite obter T_2 a partir dos P's e de T_1.

Passo 6

Isolar T_2 na equação integrada.
Da equação anterior:
\frac{1}{T_2} = \frac{1}{T_1} - \frac{R}{\Delta H}\left[\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) + B'(P_2-P_1)\right].
Depois T_2 é dado por T_2 = \bigl(1/T_2\bigr)^{-1}. Agora só falta inserir os números com cuidado de unidades.

Passo 7

Substituição numérica (mostrar contas passo a passo).
  • Converter pressões para pascal: P_1 = 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\qquad P_2 = 21{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=2{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Valores numéricos: \Delta H = 16628\\ \mathrm{J/mol},\qquad R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
B' = -1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}/J}.
  • Calcular o termo do log e do B': \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln(21)\approx 3{,}0445224377,
B'(P_2-P_1) = -1{,}0\times10^{-7}\times(2{,}1\times10^{6}-1{,}0\times10^{5}) = -1{,}0\times10^{-7}\times 2{,}0\times10^{6} = -0{,}2.
Soma:
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) + B'(P_2-P_1) \approx 3{,}0445224377 - 0{,}2 = 2{,}8445224377.
  • Calcular o fator R/\Delta H: \frac{R}{\Delta H}=\frac{8{,}314462618}{16628}\approx 0{,}00050003\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • Então \frac{1}{T_2} = \frac{1}{300} - 0{,}00050003\times 2{,}8445224377.Primeiro termo \dfrac{1}{300}=0{,}0033333333. Produto: 0{,}00050003\times 2{,}8445224377 \approx 0{,}00142234.Subtraindo: \frac{1}{T_2} \approx 0{,}0033333333 - 0{,}00142234 = 0{,}0019109933.
  • Inverso: T_2 \approx \frac{1}{0{,}0019109933}\approx 523{,}5\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Pequena interpretação e comparação (didático e motivador)
  • Resultado: T_2\approx 523{,}5\\ \mathrm{K}. Isso significa que, sob as hipóteses adotadas (entalpia de vaporização constante e correção virial de primeira ordem com B'), ao aquecer de 300 K mantendo o volume rígido e o equilíbrio faseado até 21\\ \mathrm{bar} a temperatura final fica por volta de 523\\ \mathrm{K}.
  • Para intuição: se tivesse assumido gás perfeito ( B'=0) a fórmula reduz-se a \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = \frac{\Delta H}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right),e o T_2 resultante seria ligeiramente diferente. O termo com B' aqui (negativo) diminui a contribuição do logaritmo efetivo e, portanto, altera (neste caso aumenta um pouco) o T_2 necessário para alcançar P_2.
Força aí — você já tem a equação pronta e um passo a passo que dá pra reproduzir na prova: derive a relação integrada, coloque unidades consistentes (Pa, J, K) e substitua. Dá pra resolver na mão como fiz.

Resposta

T_2 \approx 523{,}5\\ \mathrm{K}

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