Suco de laranja concentrado é produzido através da evaporação de água. Partindo de 100 litros de um suco integral deseja-se obter um suco com 50% de sólidos, em massa. A concentração é feita em um evaporador de 1000 litros com pressão controlada, que conta com um agitador de pás, que funciona com potência de 2 kW durante 2 horas. Calcule o calor necessário para a evaporação, considerando:
o processo ocorre à pressão atmosférica.
Dados:
O suco de laranja integral tem a seguinte composição, em massa: 89% de água, 0,59 \% de proteína, 0,14 \% de gordura, 9,85 \% de carboidratos, 0,20 \% de fibras e 0,41 \% de cinzas.
Os calores específicos dos sólidos podem ser calculados pelas seguintes equações:
Proteínas: \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=2,0082+1,2089 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}-1,3129 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
Gordura: \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=1,9842+1,4733 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}-4,8008 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
Carboidratos: \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=1,5488+1,9625 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}-5,9399 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
Fibras: \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=1,8459+1,8306 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}-4,6509 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
Cinzas: \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=1,0926+1,8896 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}-3,6817 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
Onde:
\mathrm{C}_{\mathrm{P}}= calor específico ( \mathrm{kJ} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}) )

Passo 1

O problema trata da concentração de um suco de laranja por evaporação: partimos de 100 L de suco integral (com 89\% de água e 11\% de sólidos em massa) a uma temperatura inicial aproximada de 25^\circ\text{C}, e queremos chegar a um suco com 50\% de sólidos em massa, operando a 1 atm e 100^\circ\text{C}. Para isso, precisamos calcular:
  1. O calor sensível necessário para aquecer todo o suco de 25^\circ\text{C} a 100^\circ\text{C}, usando c_p da água e dos sólidos (estes últimos dados por equações polinomiais).
  2. O calor latente de vaporização da água removida (à pressão atmosférica).
  3. A energia fornecida pelo agitador (toda ela se converte em calor no fluido).

Passo 2

Determinar as massas iniciais e finais:
– Densidade aproximada do suco: 1\;\text{kg/L}, logo m_{\text{suco}}=100\;\text{kg}.
– Massa inicial de sólidos:
m_s = 100\;\text{kg}\times 0{,}11 = 11\;\text{kg}.
– Massa inicial de água:
m_{w,i}=100\;\text{kg}-11\;\text{kg}=89\;\text{kg}.
Para ter 50\% de sólidos no produto final,
m_s = 0{,}50\,m_{\text{final}}\quad\Longrightarrow\quad m_{\text{final}}=\frac{11}{0{,}5}=22\;\text{kg},
logo a massa de água final é
m_{w,f}=22\;\text{kg}-11\;\text{kg}=11\;\text{kg}.
A massa de água evaporada vale
m_{\text{evap}} = m_{w,i}-m_{w,f}=89-11=78\;\text{kg}.

Passo 3

Calcular o calor sensível para aquecer o suco de 25^\circ\text{C} a 100^\circ\text{C}.
  1. Água: c_{p,w}=4{,}18\;\text{kJ/(kg\cdotK)} aproximado e constante.
Q_{w} = m_{w,i}\,c_{p,w}\,(100-25) =89\cdot4{,}18\cdot75 \approx2{,}79\times10^{4}\;\text{kJ}.
  1. Sólidos: define-se um c_{p,s}(T)=a+b\,T+c\,T^2 médio, obtido pela média ponderada das equações dadas (peso de cada fração de sólido). O resultado é
c_{p,s}(T)\approx1{,}5662 +1{,}9089\times10^{-3}\,T -5{,}5741\times10^{-6}\,T^2 \quad[\text{kJ/(kg\cdotK)}].
Integramos de T_1=25 a T_2=100:
\int_{25}^{100}c_{p,s}(T)\,dT =1{,}5662\,(100-25) +1{,}9089\times10^{-3}\,\frac{100^2-25^2}{2} -5{,}5741\times10^{-6}\,\frac{100^3-25^3}{3} \approx124{,}59\;\text{kJ/kg}.
Portanto
Q_{s} = m_{s}\times124{,}59 =11\cdot124{,}59 \approx1{,}37\times10^{3}\;\text{kJ}.
Somando-se:
Q_{\text{sensível}}=Q_w+Q_s \approx2,79\times10^{4}+1,37\times10^{3} \approx2,93\times10^{4}\;\text{kJ}.í

Passo 4

Calor latente de vaporização da água evaporada, usando \Delta H_{\text{vap}}\approx2257\;\text{kJ/kg} (a 1 atm e 100^\circC):
Q_{\text{latente}} = m_{\text{evap}}\;\Delta H_{\text{vap}} =78\cdot2257 \approx1,76\times10^{5}\;\text{kJ}.

Passo 5

Energia fornecida pelo agitador: potência P=2\;\text{kW} por t=2\;\text{h}=7200\;\text{s}.
W_{\text{agit}}=P\cdot t =2\,\text{kJ/s}\times7200\,\text{s} =1{,}44\times10^{4}\;\text{kJ}.

Passo 6

Energia total necessária (todo trabalho do agitador torna-se calor no fluido)
Q_{\text{total}} =Q_{\text{sensível}}+Q_{\text{latente}}+W_{\text{agit}} \approx2,93\times10^{4}+1,76\times10^{5}+1,44\times10^{4} \approx2,20\times10^{5}\;\text{kJ}.í

Resposta

O calor total necessário é aproximadamente 2{,}20\times10^{5}\;\text{kJ} (ou 220\;\text{MJ}).

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