A superficie interna de uma janela em uma casa está a 5^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura de bulbo seco do ar dentro da casa é de 20^{\circ} \mathrm{C} e a pressão é de 101,3 \mathrm{kPa}. Qual é o valor máximo de umidade relativa permitido na casa para que não se inicie a condensação?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura da superfície interna da janela: T_s = 5^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de bulbo seco (ar interior): T_{db} = 20^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão total do ar: p = 101{,}3\\ \mathrm{kPa}.
  • Pergunta:
    • Qual o valor máximo de umidade relativa permitido na casa para que não comece a condensação na superfície a 5^\circ\mathrm{C}?

Passo 2

Entender a física (em linguagem simples e prática):
  • Condensação na superfície ocorre se a pressão parcial de vapor do ar (chamemos de e) for maior do que a pressão de vapor de saturação à temperatura da superfície. Ou seja, para NÃO haver condensação precisamos ter
    e \le e_s(T_s),
    onde e_s(T) é a pressão de vapor de saturação à temperatura T.
  • A umidade relativa \mathrm{RH} é definida como a razão entre a pressão parcial de vapor e a pressão de saturação na temperatura do ar:
    \mathrm{RH} = \frac{e}{e_s(T_{db})}\times 100\%.
    Para achar o máximo de \mathrm{RH} que evita condensação, colocamos e = e_s(T_s) (maior e permitido) e obtemos
    \mathrm{RH}_{\max} = \frac{e_s(T_s)}{e_s(T_{db})}\times 100\%.
    Ou seja: calcular as pressões de saturação em 5^\circ\mathrm{C} e em 20^\circ\mathrm{C} e fazer essa razão.

Passo 3

Fórmula prática para calcular e_s(T) (Magnus–Tetens), que é simples e suficientemente precisa para temperaturas ambientais:
e_s(T)=0{,}61078\\ \exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad(\text{kPa}),
onde T está em graus Celsius. Aqui:
  • e_s(T) é a pressão de vapor de saturação em kPa;
  • T é a temperatura em ^\circ\mathrm{C};
  • \exp(\cdot) é a função exponencial natural.
Esta fórmula é adequada entre aproximadamente -40^\circ\mathrm{C} e 50^\circ\mathrm{C}, então serve bem para 5^\circ\mathrm{C} e 20^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular e_s em T_s=5^\circ\mathrm{C}.
  • Primeiro calcule a razão dentro da exponencial: \frac{17{,}27\cdot 5}{5+237{,}3}=\frac{86{,}35}{242{,}3}=0{,}3564\\ (\text{aprox.}).
  • Agora o exponencial: \exp(0{,}3564)\approx 1{,}4283.
  • Finalmente e_s(5)=0{,}61078\times 1{,}4283\approx 0{,}8729\\ \mathrm{kPa}.
(Arredondando, e_s(5)\approx 0{,}873\\ \mathrm{kPa}.)

Passo 5

Calcular e_s em T_{db}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Razão na exponencial: \frac{17{,}27\cdot 20}{20+237{,}3}=\frac{345{,}4}{257{,}3}=1{,}3426\\ (\text{aprox.}).
  • Exponencial: \exp(1{,}3426)\approx 3{,}8281.
  • Finalmente e_s(20)=0{,}61078\times 3{,}8281\approx 2{,}338\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Calcular a umidade relativa máxima sem condensação:
\mathrm{RH}_{\max}=\frac{e_s(5)}{e_s(20)}\times 100\% =\frac{0{,}8729}{2{,}338}\times 100\%\approx 37{,}35\%.
Arredondando para uma apresentação prática:
\mathrm{RH}_{\max}\approx 37{,}4\%.
Interpretação final curta: se a umidade relativa no interior ficar abaixo de aproximadamente 37{,}4\%, a pressão de vapor do ar será menor que a de saturação em 5^\circ\mathrm{C} e não haverá condensação na janela; se a RH for maior, começa a condensar na superfície.

Resposta

37{,}4\%

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