6-3,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de ar a 27^{\circ} \mathrm{C} de temperatura de bulbo seco e 50 \% de umidade relativa à pressão atmosférica padrão, adentram uma unidade de condicionamento de ar. O ar deixa essa unidade com uma temperatura de bulbo seco de 13^{\circ} \mathrm{C} e umidade relativa de 90 \%. Usando propriedades extraídas da carta psicométrica a) Determine a capacidade de refrigeração em kW e b) Determine a taxa de remoção de água do ar.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar a capacidade de refrigeração (potência de resfriamento) em \mathrm{kW};
  • (b) determinar a taxa de remoção de água do ar (massa de água retirada por unidade de tempo).
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Vazão volumétrica de ar: interpretei o valor apresentado como 6{,}35\\ \mathrm{m^{3}/s} (o enunciado trouxe “6-3,5”, que parece ter uma vírgula/hífen ambíguo; sigo com 6{,}35\\ \mathrm{m^{3}/s}). Se o número fosse outro o resultado muda proporcionalmente.
  • Condições de entrada (estado 1): temperatura de bulbo seco T_1 = 27^\circ\mathrm{C} e umidade relativa \phi_1 = 50\%.
  • Condições de saída (estado 2): temperatura de bulbo seco T_2 = 13^\circ\mathrm{C} e umidade relativa \phi_2 = 90\%.
  • Pressão atmosférica padrão: P = 101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
Observação: vou extrair propriedades termodinâmicas da carta psicrométrica usando fórmulas padrão para vapor d’água/ ar úmido (cálculo de pressão de saturação, razão de mistura, entalpias). Sempre informarei quando um número foi obtido dessa forma.

Passo 2

Primeiro precisamos calcular a razão de mistura (humidade absoluta) \,W nos estados 1 e 2. A definição útil é
W = \frac{0{,}622\,p_v}{P - p_v},
onde p_v é a pressão parcial de vapor ( \mathrm{kPa}) e P é a pressão total atmosférica ( \mathrm{kPa}).
Para obter p_v usamos a pressão de saturação de vapor \,e_s(T) e a umidade relativa \varphi:
p_v = \varphi\, e_s(T).
Uma fórmula prática para e_s(T) (Tetens, em \mathrm{kPa}) é
e_s(T) = 0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right),
com T em ^\circ\mathrm{C}. Vou calcular e_s, depois p_v e então W para os dois estados.
Cálculo para o estado 1 ( T_1=27^\circ\mathrm{C}, \phi_1=0{,}50):
e_s(27)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot27}{27+237{,}3}\right)\approx 3{,}561\\ \mathrm{kPa}.
p_{v1}=\phi_1 e_s(27)=0{,}50\cdot 3{,}561\approx 1{,}7805\\ \mathrm{kPa}.
W_1=\frac{0{,}622\cdot 1{,}7805}{101{,}325-1{,}7805}\approx 0{,}01114\\ \mathrm{kg_{water}/kg_{dry\\ air}}.
Cálculo para o estado 2 ( T_2=13^\circ\mathrm{C}, \phi_2=0{,}90):
e_s(13)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot13}{13+237{,}3}\right)\approx 1{,}497\\ \mathrm{kPa}.
p_{v2}=\phi_2 e_s(13)=0{,}90\cdot 1{,}497\approx 1{,}3473\\ \mathrm{kPa}.
W_2=\frac{0{,}622\cdot 1{,}3473}{101{,}325-1{,}3473}\approx 0{,}00839\\ \mathrm{kg_{water}/kg_{dry\\ air}}.
Resumo até aqui (valores extraídos/obtidos a partir das fórmulas acima, equivalentes ao que se leria na carta psicrométrica):
W_1\approx 0{,}01114,\qquad W_2\approx 0{,}00839.

Passo 3

Agora precisamos da vazão mássica de ar seco (massa de ar seco por segundo). Para ar úmido a vazão volumétrica fornecida refere-se ao volume do fluido misto; a massa de ar seco por segundo \dot{m}_{da} pode ser obtida por
\dot{m}_{da} = \dot{V}\,\frac{P - p_{v1}}{R_{d}\,T_1},
onde \dot{V} é a vazão volumétrica, R_d = 287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} é a constante dos gases para o ar seco, e T_1 a temperatura absoluta em K.
Converter T_1 para Kelvin:
T_1 = 27^\circ\mathrm{C}=300{,}15\\ \mathrm{K}.
Pressão parcial do ar seco no estado 1:
P - p_{v1} = 101{,}325 - 1{,}7805 = 99{,}5445\\ \mathrm{kPa}=99{,}544{,}5\\ \mathrm{Pa}.
Calcule a densidade do ar seco àquelas condições:
\rho_{da} = \frac{P - p_{v1}}{R_d T_1} = \frac{99{,}544{,}5}{287{,}05\cdot 300{,}15}\approx 1{,}1559\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Então, com \dot{V}=6{,}35\\ \mathrm{m^{3}/s},
\dot{m}_{da} = 6{,}35\cdot 1{,}1559 \approx 7{,}341\\ \mathrm{kg/s}.
(Se a vazão volumétrica fosse diferente, basta multiplicar essa densidade pela vazão para obter \dot{m}_{da}.)

Passo 4

Determinar a capacidade de refrigeração requer o balanço de energia no ar úmido. A potência de refrigeração (potência removida do ar) é
\dot{Q} = \dot{m}_{da}\,(h_1 - h_2),
onde h é a entalpia específica do ar úmido por unidade de massa de ar seco (kJ/kg_dry_air).
Uma expressão prática para h é
h = c_{pa}\,T + W\left( h_{fg} + c_{pw}\,T \right),
com T em ^\circ\mathrm{C}, c_{pa}=1{,}006\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (calor específico do ar seco), c_{pw}=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (calor específico da água vaporizada) e h_{fg}\approx 2501\\ \mathrm{kJ/kg} (entalpia de vaporização a 0^\circ\mathrm{C}, valor padrão usado em psicrometria).
Calcule h_1 e h_2:
Para o estado 1 ( T_1=27^\circ\mathrm{C}, W_1\approx 0{,}01114):
h_1 = 1{,}006\cdot 27 + 0{,}01114\left(2501 + 1{,}86\cdot 27\right).
Calcule termos:
1{,}006\cdot 27 = 27{,}162\\ \mathrm{kJ/kg},
2501 + 1{,}86\cdot 27 = 2501 + 50{,}22 = 2551{,}22\\ \mathrm{kJ/kg},
0{,}01114\cdot 2551{,}22 \approx 28{,}41\\ \mathrm{kJ/kg}.
h_1 \approx 27{,}162 + 28{,}41 = 55{,}57\\ \mathrm{kJ/kg\\ (da)}.
Para o estado 2 ( T_2=13^\circ\mathrm{C}, W_2\approx 0{,}00839):
h_2 = 1{,}006\cdot 13 + 0{,}00839\left(2501 + 1{,}86\cdot 13\right).
Calcule termos:
1{,}006\cdot 13 = 13{,}078\\ \mathrm{kJ/kg},
2501 + 1{,}86\cdot 13 = 2501 + 24{,}18 = 2525{,}18\\ \mathrm{kJ/kg},
0{,}00839\cdot 2525{,}18 \approx 21{,}18\\ \mathrm{kJ/kg}.
h_2 \approx 13{,}078 + 21{,}18 = 34{,}26\\ \mathrm{kJ/kg\\ (da)}.
Diferença de entalpia:
\Delta h = h_1 - h_2 \approx 55{,}57 - 34{,}26 = 21{,}31\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto a potência de refrigeração:
\dot{Q} = \dot{m}_{da}\,\Delta h \approx 7{,}341\cdot 21{,}31 \approx 156{,}6\\ \mathrm{kW}.
Arredondando de forma prática, a capacidade de refrigeração é cerca de \,157\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Agora a taxa de remoção de água. A massa de água retirada por segundo é dada por
\dot{m}_{w} = \dot{m}_{da}\,(W_1 - W_2).
Calcule a diferença de humidades:
W_1 - W_2 \approx 0{,}01114 - 0{,}00839 = 0{,}00275\\ \mathrm{kg_{water}/kg_{dry\\ air}}.
Então
\dot{m}_{w} \approx 7{,}341\cdot 0{,}00275 \approx 0{,}0202\\ \mathrm{kg/s}.
Convertendo para unidades mais usuais:
0{,}0202\\ \mathrm{kg/s} \times 3600\\ \mathrm{s/h} \approx 72{,}7\\ \mathrm{kg/h}.
Também em gramas por segundo: 0{,}0202\\ \mathrm{kg/s}=20{,}2\\ \mathrm{g/s}.

Passo 6

Verificação qualitativa rápida (serve para evitar interpretação errada):
  • A diferença de entalpia por kg de ar seco \Delta h tem componente sensível (queda de temperatura) e componente latente (condensação). O resultado \dot{Q}\approx 157\\ \mathrm{kW} inclui ambos (resfriamento sensível + remoção de umidade).
  • A taxa de remoção de água obtida ( \approx 0{,}0202\\ \mathrm{kg/s}) é coerente com a redução de W multiplicada pela vazão de ar seco.

Resposta

\dot{Q}\approx 157\\ \mathrm{kW}
\dot{m}_{w}\approx 0{,}0202\\ \mathrm{kg/s} (ou \approx 72{,}7\\ \mathrm{kg/h}, ou \approx 20{,}2\\ \mathrm{g/s}).

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