Uma torre de resfriamento é um equipamento no qual ar resfria água previamente borrifada. Se 15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de ar a 35{ }^{\circ} \mathrm{C} de temperatura de bulbo seco e 24{ }^{\circ} \mathrm{C} de temperatura de bulbo úmido, a uma pressão atmosférica de 101 kPa , adentram uma torre, deixando-a saturado a 31{ }^{\circ} \mathrm{C} : a) Até que temperatura essa corrente de ar pode resfriar água borrifada a 38^{\circ} \mathrm{C} e com vazão de 20 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} ? b) Quantos \mathrm{kg} / \mathrm{s} de água devem ser fornecidos para compensar a água que evapora?

Passo 1

O enunciado dá uma corrente de ar que entra na torre e sai saturada, e pede (a) a que temperatura essa corrente de ar pode resfriar uma corrente de água borrifada e (b) a massa de água por segundo necessária para repor a que evapora. Dados extraídos do enunciado:
  • Vazão volumétrica do ar: \,15\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Ar de entrada: temperatura de bulbo seco \,T_{a1}=35{ }^{\circ}\mathrm{C} e temperatura de bulbo úmido \,T_{wb1}=24{ }^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pressão atmosférica: \,p=101\\ \mathrm{kPa}.
  • Ar de saída: saturado (ou seja, umidade relativa 100\%) a \,T_{a2}=31{ }^{\circ}\mathrm{C}.
  • Vazão mássica da água refrigerada: \,\dot{m}_w=20\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura inicial da água: \,T_{w,i}=38{ }^{\circ}\mathrm{C}.
  • O que se pede:
    (a) Temperatura final da água \,T_{w,f} após contato com esse ar.
    (b) Vazão mássica de água que evapora (ou seja, quanto água é adicionada por segundo para repor a que evapora).
Observação: vamos usar conceitos de psicrometria (razão de mistura/umidade absoluta w, pressão de vapor de saturação, entalpia do ar úmido) e balanços de massa e de energia. Todos os passos serão mostrados e as fórmulas explicadas.

Passo 2

Calcular a razão de mistura (umidade absoluta) da corrente de ar de entrada \,w_1 a partir da temperatura de bulbo úmido. Conceitos e fórmulas principais:
  • Pressão de vapor de saturação aproximada (fórmula de Tetens, em Pa):
p_{vs}(T)=610{,}78\exp\!\left(\dfrac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right),
com T em ^\circ\mathrm{C}.
  • Razão de mistura de ar saturado a uma temperatura T:
w_s(T)=\dfrac{0{,}622\,p_{vs}(T)}{p - p_{vs}(T)}.
Aqui p é a pressão total (em Pa) e 0{,}622=\dfrac{M_{v}}{M_{a}} (massa molar vapor / ar seco).
  • Relação prática entre temperatura de bulbo úmido e razão de mistura (aproximação muito usada):
w \approx w_s(T_{wb}) - \dfrac{c_{pa}}{L_v(T_{wb})}\,(T_{db}-T_{wb}),
onde c_{pa} é o calor específico do ar seco (aprox. 1{,}006\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}), L_v(T) é o calor latente de vaporização da água (em \mathrm{kJ/kg}) à temperatura considerada e T_{db} é a temperatura de bulbo seco.
Agora calculamos numericamente.
  1. Calcular p_{vs}(24{ }^\circ\mathrm{C}):
p_{vs}(24)=610{,}78\exp\!\left(\dfrac{17{,}27\cdot24}{24+237{,}3}\right)\approx 2{,}99\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  1. Calcular w_s(24):
w_s(24)=\dfrac{0{,}622\cdot 2990}{101000-2990}\approx 0{,}01896\\ \mathrm{kg_{vapor}/kg_{ar\\ seco}}.
  1. Estimar L_v em 24{ }^\circ\mathrm{C} (aproximação linear):
L_v(T)\approx 2501 - 2{,}366\,T\quad\text{(kJ/kg)},
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L_v(24)\approx 2501 - 2{,}366\cdot24 \approx 2444{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}.
  1. Usar a fórmula aproximada para w_1 (entrada):
w_1 \approx w_s(24) - \dfrac{c_{pa}}{L_v(24)}\,(T_{a1}-T_{wb1}).
Substituindo c_{pa}=1{,}006\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, T_{a1}-T_{wb1}=35-24=11:
\dfrac{c_{pa}}{L_v(24)}\cdot 11 \approx \dfrac{1{,}006}{2444{,}2}\cdot 11 \approx 0{,}00453.
Portanto
w_1 \approx 0{,}01896 - 0{,}00453 \approx 0{,}01443\\ \mathrm{kg/kg}.
Interpretação: o ar que entra contém cerca de 0{,}01443\\ \mathrm{kg} de vapor por kg de ar seco.

Passo 3

Calcular a razão de mistura do ar de saída saturado a 31{ }^\circ\mathrm{C}, isto é w_2 = w_s(31^\circ\mathrm{C}).
  1. Calcular p_{vs}(31{ }^\circ\mathrm{C}) pela fórmula de Tetens:
p_{vs}(31)\approx 610{,}78\exp\!\left(\dfrac{17{,}27\cdot31}{31+237{,}3}\right)\approx 4{,}496\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  1. Calcular w_2:
w_2=\dfrac{0{,}622\cdot 4496}{101000-4496}\approx 0{,}02898\\ \mathrm{kg/kg}.
Comentário: como o ar sai saturado a 31{ }^\circ\mathrm{C}, sua razão de mistura é aproximadamente 0{,}02898\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 4

Calcular a vazão mássica de ar seco \,\dot{m}_a a partir da vazão volumétrica e da densidade do ar.
Usamos gás ideal para o ar seco:
\rho=\dfrac{p}{R\,T},
com R=287{,}058\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e T em Kelvin. Para T_{a1}=35{ }^\circ\mathrm{C}=308{,}15\\ \mathrm{K}:
\rho \approx \dfrac{101000}{287{,}058\cdot308{,}15}\approx 1{,}140\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Vazão mássica de ar seco:
\dot{m}_a = 15\\ \mathrm{m^{3}/s}\times 1{,}140\\ \mathrm{kg/m^{3}} \approx 17{,}10\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Calcular a vazão mássica de água que evapora: aumento de vapor na corrente de ar.
A vazão de vapor adicionada por segundo é
\dot{m}_{\text{evap}}=\dot{m}_a\,(w_2-w_1).
Substituindo valores:
w_2-w_1 \approx 0{,}02898 - 0{,}01443 = 0{,}01455\\ \mathrm{kg/kg},
\dot{m}_{\text{evap}} \approx 17{,}10\cdot 0{,}01455 \approx 0{,}249\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação: para cada segundo cerca de 0{,}249\\ \mathrm{kg} de água evapora para umidificar o ar.

Passo 6

Fazer o balanço de energia: o calor perdido pela água líquida que esfria é ganho pelo ar (aumenta a entalpia do ar úmido, incluindo calor sensível do ar e calor que aquece o vapor + calor latente do vapor evaporado).
Fórmula prática para entalpia do ar úmido (por kg de ar seco), em kJ/kg:
h = c_{pa}\,T_{db} + w\bigl(2501 + c_{pv}\,T_{db}\bigr),
onde c_{pa}\approx 1{,}006\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e c_{pv}\approx 1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. (A constante 2501\\ \mathrm{kJ/kg} é uma referência do calor latente em zero grau; essa expressão é amplamente usada como aproximação prática.)
Calcular h_1 (ar na entrada) e h_2 (ar na saída):
  1. Entrada:
h_1 = 1{,}006\cdot35 + w_1\bigl(2501 + 1{,}86\cdot35\bigr).
Calcule:
1{,}006\cdot35 = 35{,}21\\ \mathrm{kJ/kg},
2501 + 1{,}86\cdot35 = 2566{,}1\\ \mathrm{kJ/kg},
w_1\cdot 2566{,}1 \approx 0{,}01443\cdot2566{,}1 \approx 37{,}05\\ \mathrm{kJ/kg},
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h_1 \approx 35{,}21 + 37{,}05 = 72{,}26\\ \mathrm{kJ/kg\\ dry\\ air}.
  1. Saída:
h_2 = 1{,}006\cdot31 + w_2\bigl(2501 + 1{,}86\cdot31\bigr).
Calcule:
1{,}006\cdot31 = 31{,}186\\ \mathrm{kJ/kg},
2501 + 1{,}86\cdot31 = 2558{,}66\\ \mathrm{kJ/kg},
w_2\cdot 2558{,}66 \approx 0{,}02898\cdot2558{,}66 \approx 74{,}16\\ \mathrm{kJ/kg},
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h_2 \approx 31{,}186 + 74{,}16 = 105{,}35\\ \mathrm{kJ/kg\\ dry\\ air}.
  1. Aumento de entalpia por segundo do ar:
\dot{Q}_{\text{ar}} = \dot{m}_a\,(h_2-h_1).
h_2-h_1 \approx 105{,}35 - 72{,}26 = 33{,}09\\ \mathrm{kJ/kg},
\dot{Q}_{\text{ar}} \approx 17{,}10\cdot 33{,}09 \approx 566{,}0\\ \mathrm{kJ/s} = 566{,}0\\ \mathrm{kW}.
  1. Este calor foi retirado da água líquida. O balanço de energia para a água (assumindo que só perde calor sensível) é:
\dot{m}_w\,c_{pw}\,(T_{w,i}-T_{w,f}) = \dot{Q}_{\text{ar}},
com c_{pw}\approx 4{,}186\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Substituindo:
20\cdot 4{,}186\cdot(38 - T_{w,f}) = 566{,}0.
83{,}72\,(38 - T_{w,f}) = 566{,}0.
38 - T_{w,f} = \dfrac{566{,}0}{83{,}72} \approx 6{,}76.
T_{w,f} \approx 38 - 6{,}76 = 31{,}24{ }^\circ\mathrm{C}.
Interpretação física: a água é resfriada de 38{ }^\circ\mathrm{C} para cerca de 31{,}24{ }^\circ\mathrm{C}. Isso faz sentido físico porque a água final não pode ficar abaixo da temperatura do ar saturado de saída (aqui 31{ }^\circ\mathrm{C}), e o resultado está ligeiramente acima de 31{ }^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Resumo dos resultados numéricos obtidos (com aproximações usuais de psicrometria):
  • Temperatura final aproximada da água: \,T_{w,f}\approx 31{,}24{ }^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão mássica de água evaporada (necessária como reposição): \,\dot{m}_{\text{evap}}\approx 0{,}249\\ \mathrm{kg/s}.
Observações finais rápidas e encorajamento: usei fórmulas padrão de psicrometria (Tetens para pressão de vapor, expressão prática para entalpia do ar úmido e a aproximação linear que relaciona bulbo úmido com razão de mistura). Em prova, compartimenta o problema: 1) calcule umidades (usar Twb e sat. vapor), 2) calcule vazões mássicas do ar, 3) massa de vapor evaporado por balanço de massa, 4) temperatura final por balanço de energia. Se ficar com dúvida em qual constante usar, mantenha consistência (mesmo conjunto de aproximações) e explique suas escolhas — normalmente dão crédito. Vai dar certo!

Resposta

T_{w,f}\approx 31{,}24{ }^\circ\mathrm{C}\n
\dot{m}_{\text{evap}}\approx 0{,}249\\ \mathrm{kg/s}

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