Supondo que a temperatura da atmosfera seja independente da altura (não é uma grande suposição, mas também não é terrível), resolva a equação barométrica para obter a pressão em função da altura: P(z)= P(O) e^-m g z / k T. Mostre também que a densidade obedece a uma equação semelhante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação barométrica assumindo que a temperatura da atmosfera não muda com a altura. Isso envolve física, mais especificamente a parte que estuda a atmosfera e como a pressão varia com a altitude. Vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças na atmosfera e aplicar algumas fórmulas básicas de física para chegar na expressão da pressão em função da altura. No final, também vamos mostrar que a densidade segue uma relação parecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a equação barométrica. Ela descreve como a pressão do ar diminui conforme aumentamos a altura. A ideia é que a pressão em um certo nível é devido ao peso das camadas de ar acima desse nível. Para começar, precisamos considerar o equilíbrio entre a força gravitacional e a força de pressão.

Passo 3

Vamos considerar uma pequena camada de ar na altura z com espessura dz. A força gravitacional que age sobre essa camada é o peso da camada, que pode ser expresso como:
Fg = m g
onde:
  • $ m $ é a massa da camada de ar,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 4

A força de pressão que atua sobre a camada de ar é a diferença de pressão entre a base e o topo dessa camada multiplicada pela área A. Isso pode ser escrito como:
Fp = (P(z) - P(z + dz)) A
onde:
  • $ P(z) $ é a pressão na altura z,
  • $ P(z + dz) $ é a pressão na altura z + dz.

Passo 5

No equilíbrio, a força gravitacional é igual à força de pressão:
m g = (P(z) - P(z + dz)) A
A massa m da camada de ar pode ser escrita como:
m = rho(z) A dz
onde $ \rho(z) $ é a densidade do ar na altura z.

Passo 6

Substituindo m na equação do equilíbrio, temos:
rho(z) A dz g = (P(z) - P(z + dz)) A
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por A:
rho(z) g dz = P(z) - P(z + dz)
Isso pode ser rearranjado para:
dPdz = -rho(z) g
Essa é a equação diferencial que relaciona a variação da pressão com a altura.

Passo 7

Para resolver essa equação, precisamos relacionar a densidade $ \rho(z) $ com a pressão $ P(z) $. Usamos a equação de estado dos gases ideais:
rho(z)
onde:
  • $ k $ é a constante de Boltzmann,
  • $ T $ é a temperatura,
  • $ m $ é a massa molar do ar.
Dessa forma, podemos escrever:
P(z)

Passo 8

Substituindo $ \rho(z) $ na equação diferencial, temos:
rho(z)
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis:
dPdz = -P(z) m gk T

Passo 9

Integrando ambos os lados, obtemos:
ln P(z) = -m gk T z + C
onde C é a constante de integração. Para determinar C, consideramos que na altura z = 0, a pressão é $ P(0) $:
P(0)
Então, a solução geral é:
ln P(0) = C

Passo 10

Exponenciando ambos os lados para resolver para $ P(z) $, obtemos:
P(z)

Passo 11

Agora, vamos mostrar que a densidade também segue uma relação semelhante. Usando a relação que encontramos anteriormente:
rho(z) = P(z) mk T
Substituindo $ P(z) $:
P(z)

Resposta

A pressão em função da altura é dada por:
P(z) = P(0) e^-m g zk T
E a densidade também obedece a uma equação semelhante:
rho(z) = rho(0) e^-m g zk T

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