Supondo que a temperatura da atmosfera seja independente da altura (não é uma grande suposição, mas também não é terrível), resolva a equação barométrica para obter a pressão em função da altura:
. Mostre também que a densidade obedece a uma equação semelhante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação barométrica assumindo que a temperatura da atmosfera não muda com a altura. Isso envolve física, mais especificamente a parte que estuda a atmosfera e como a pressão varia com a altitude. Vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças na atmosfera e aplicar algumas fórmulas básicas de física para chegar na expressão da pressão em função da altura. No final, também vamos mostrar que a densidade segue uma relação parecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a equação barométrica. Ela descreve como a pressão do ar diminui conforme aumentamos a altura. A ideia é que a pressão em um certo nível é devido ao peso das camadas de ar acima desse nível. Para começar, precisamos considerar o equilíbrio entre a força gravitacional e a força de pressão.
Passo 3
Vamos considerar uma pequena camada de ar na altura z com espessura dz. A força gravitacional que age sobre essa camada é o peso da camada, que pode ser expresso como:
onde:
- $ m $ é a massa da camada de ar,
- $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 4
A força de pressão que atua sobre a camada de ar é a diferença de pressão entre a base e o topo dessa camada multiplicada pela área A. Isso pode ser escrito como:
onde:
- $ P(z) $ é a pressão na altura z,
- $ P(z + dz) $ é a pressão na altura z + dz.
Passo 5
No equilíbrio, a força gravitacional é igual à força de pressão:
A massa m da camada de ar pode ser escrita como:
onde $ \rho(z) $ é a densidade do ar na altura z.
Passo 6
Substituindo m na equação do equilíbrio, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por A:
Isso pode ser rearranjado para:
Essa é a equação diferencial que relaciona a variação da pressão com a altura.
Passo 7
Para resolver essa equação, precisamos relacionar a densidade $ \rho(z) $ com a pressão $ P(z) $. Usamos a equação de estado dos gases ideais:
onde:
- $ k $ é a constante de Boltzmann,
- $ T $ é a temperatura,
- $ m $ é a massa molar do ar.
Dessa forma, podemos escrever:
Passo 8
Substituindo $ \rho(z) $ na equação diferencial, temos:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis:
Passo 9
Integrando ambos os lados, obtemos:
onde C é a constante de integração. Para determinar C, consideramos que na altura z = 0, a pressão é $ P(0) $:
Então, a solução geral é:
Passo 10
Exponenciando ambos os lados para resolver para $ P(z) $, obtemos:
Passo 11
Agora, vamos mostrar que a densidade também segue uma relação semelhante. Usando a relação que encontramos anteriormente:
Substituindo $ P(z) $:
Resposta
A pressão em função da altura é dada por:
E a densidade também obedece a uma equação semelhante: