Determine a contribuição desta componente rotacional do hamiltoniano para a função de partição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos como a parte rotacional do hamiltoniano contribui para a função de partição. Isso está dentro da matéria de Mecânica Estatística, onde a função de partição nos ajuda a entender as propriedades termodinâmicas de um sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como o hamiltoniano se decompõe e como cada parte contribui para a função de partição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o hamiltoniano total do sistema pode ser dividido em diferentes partes que representam diferentes tipos de movimentos ou energias do sistema. No nosso caso, estamos focando na componente rotacional, então vamos escrever:
Aqui, $ H_{rotacional} $ representa a energia associada às rotações do sistema, e $ H_{outras} $ engloba as demais contribuições, como energia translacional ou vibracional.
Passo 3
Agora, a função de partição $ Z $ é uma ferramenta que soma todas as possíveis contribuições de energia do sistema, ponderadas por um fator exponencial que depende da temperatura. A função de partição total é dada por:
Onde $ \beta = \frac{1}{k_B T} $, com $ k_B $ sendo a constante de Boltzmann e $ T $ a temperatura.
Passo 4
Se as diferentes partes do hamiltoniano comutam entre si, ou seja, $ [H_{rotacional}, H_{outras}] = 0 $, a função de partição total pode ser fatorada em funções de partição individuais para cada parte:
Isso significa que a contribuição da parte rotacional para a função de partição é simplesmente $ Z_{rotacional} $.
Passo 5
Para um sistema rotacional típico, como um rotor rígido, a função de partição rotacional é dada por:
Aqui:
- $ I $ é o momento de inércia do rotor,
- $ \sigma $ é o número de elementos de simetria do sistema,
- $ h $ é a constante de Planck.
Essa expressão vem da quantização dos níveis de energia rotacional e da contagem de estados disponíveis para a rotação.
Resposta
A contribuição da componente rotacional do hamiltoniano para a função de partição é: