& T=3 A s^2v & P=A s^3v^2
Onde A é constante.
a-) Encontre mu como uma função de s e v. A partir daí encontre a Equação Fundamental.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas equações relacionando e com e , onde é uma constante. O objetivo é encontrar como uma função de e e, a partir disso, determinar a Equação Fundamental. Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como derivadas parciais e integrais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em termodinâmica, a temperatura T = ( partial Upartial s )v e a pressão P = -( partial Upartial v )s podem ser expressas como derivadas parciais da energia interna em relação à entropia e ao volume , respectivamente. Assim, temos:
Essas relações vão nos ajudar a encontrar a expressão para .

Passo 3

Vamos começar encontrando a energia interna T = 3 A s^2v . Sabemos que:
partial Upartial s = 3 A s^2v
Então, podemos escrever:
U(s, v) = integral 3 A s^2v , ds = A s^3v + f(v)
Para encontrar , integramos essa expressão em relação a :
Onde é uma função de integração que depende apenas de .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar P = A s^3v^2 . Sabemos que:
P = -( partial Upartial v )s = -( -A s^3v^2 + f'(v) ) = A s^3v^2 - f'(v)
E também:
A s^3v^2 = A s^3v^2 - f'(v)
Comparando as duas expressões para , vemos que:
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero, já que não afeta a derivada.

Passo 5

Com isso, a expressão para a energia interna fica:
U(s, v) = A s^3v
Essa é a nossa Equação Fundamental, que relaciona a energia interna com a entropia e o volume .

Resposta

A Equação Fundamental é .

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