Um tanque para água quente, isolado para o ambiente e aquecido eletricamente, contém 180 kg de água líquida a 50^{\circ} \mathrm{C} quando uma interrupção na energia ocorre. Se a água for retirada do tanque a uma taxa constante de \mathrm{m}=0,2 \mathrm{~kg} . \mathrm{s}^{-1}, em quanto tempo a temperatura da água no tanque irá cair de 50^{\circ} \mathrm{C} para 25^{\circ} \mathrm{C} ? Admita que água fria seja alimentada no tanque a 10^{\circ} \mathrm{Ce} que as perdas para o ambiente sejam desprezíveis. Para a água líquida, considere C p=C v=\mathrm{C}, independente de T e P.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o tempo necessário para que a temperatura da água no tanque caia de 50^\circ\mathrm{C} para 25^\circ\mathrm{C}.\n
Dados fornecidos e suposições relevantes:
M=180\\ \mathrm{kg}\quad(\text{massa de água no tanque})
T_{\text{in}}=10^\circ\mathrm{C}\quad(\text{temperatura da água fria que entra})
\dot{m}=0{,}2\\ \mathrm{kg\cdot s^{-1}}\quad(\text{taxa de entrada/saída de massa})
O tanque é isolado (sem trocas de calor com o ambiente) e admite-se mistura perfeita e C_p=C_v=C constante. Como a água entra e sai à mesma vazão, a massa no tanque permanece constante em M. A pergunta é: encontrar t tal que T(t)=25^\circ\mathrm{C}.
Passo 2
Princípio físico usado (explicado de forma simples): conservação de energia aplicada ao fluido no tanque. A variação da energia interna do fluido no tanque por unidade de tempo é igual à energia que entra com o fluido frio menos a energia que sai com o fluido que sai. Como o tanque é isolado, não há troca de calor com o ambiente.\n
Escrevendo isso em equação (cada termo explicado):
\frac{d}{dt}\bigl(M C T(t)\bigr)=\dot{m}\,C\,T_{\text{in}}-\dot{m}\,C\,T(t).
Aqui:
M C T(t) representa a energia térmica do fluido (massa M vezes calor específico C vezes temperatura T);
\dot{m}\,C\,T_{\text{in}} é a taxa de energia que entra com a água fria;
\dot{m}\,C\,T(t) é a taxa de energia que sai com a água que sai do tanque.
Passo 3
Simplificação da equação diferencial: M e C são constantes, então podemos tirar M C fora da derivada e cancelar C nos dois lados:
M C\frac{dT}{dt}=\dot{m}C\bigl(T_{\text{in}}-T\bigr)
Interpretação rápida para lembrar na prova: a constante de tempo do sistema é \tau=\dfrac{M}{\dot{m}}=900\\ \mathrm{s}=15\\ \mathrm{min}. A solução é uma decaída exponencial com essa constante de tempo; para cair de 50^\circ\mathrm{C} para 25^\circ\mathrm{C} (bem afastado da temperatura de entrada 10^\circ\mathrm{C}) leva cerca de 0{,}98\,\tau, como calculado acima. Força aí — você já entende a equação e como aplicá-la rapidamente na prova!