Um tanque para água quente, isolado para o ambiente e aquecido eletricamente, contém 180 kg de água líquida a 50^{\circ} \mathrm{C} quando uma interrupção na energia ocorre. Se a água for retirada do tanque a uma taxa constante de \mathrm{m}=0,2 \mathrm{~kg} . \mathrm{s}^{-1}, em quanto tempo a temperatura da água no tanque irá cair de 50^{\circ} \mathrm{C} para 25^{\circ} \mathrm{C} ? Admita que água fria seja alimentada no tanque a 10^{\circ} \mathrm{Ce} que as perdas para o ambiente sejam desprezíveis. Para a água líquida, considere C p=C v=\mathrm{C}, independente de T e P.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o tempo necessário para que a temperatura da água no tanque caia de 50^\circ\mathrm{C} para 25^\circ\mathrm{C}.\n
Dados fornecidos e suposições relevantes:
M=180\\ \mathrm{kg}\quad(\text{massa de água no tanque})á
T(0)=50^\circ\mathrm{C}\quad(\text{temperatura inicial})
T_{\text{in}}=10^\circ\mathrm{C}\quad(\text{temperatura da água fria que entra})á
\dot{m}=0{,}2\\ \mathrm{kg\cdot s^{-1}}\quad(\text{taxa de entrada/saída de massa})í
O tanque é isolado (sem trocas de calor com o ambiente) e admite-se mistura perfeita e C_p=C_v=C constante. Como a água entra e sai à mesma vazão, a massa no tanque permanece constante em M. A pergunta é: encontrar t tal que T(t)=25^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Princípio físico usado (explicado de forma simples): conservação de energia aplicada ao fluido no tanque. A variação da energia interna do fluido no tanque por unidade de tempo é igual à energia que entra com o fluido frio menos a energia que sai com o fluido que sai. Como o tanque é isolado, não há troca de calor com o ambiente.\n
Escrevendo isso em equação (cada termo explicado):
\frac{d}{dt}\bigl(M C T(t)\bigr)=\dot{m}\,C\,T_{\text{in}}-\dot{m}\,C\,T(t).
Aqui:
  • M C T(t) representa a energia térmica do fluido (massa M vezes calor específico C vezes temperatura T);
  • \dot{m}\,C\,T_{\text{in}} é a taxa de energia que entra com a água fria;
  • \dot{m}\,C\,T(t) é a taxa de energia que sai com a água que sai do tanque.

Passo 3

Simplificação da equação diferencial: M e C são constantes, então podemos tirar M C fora da derivada e cancelar C nos dois lados:
M C\frac{dT}{dt}=\dot{m}C\bigl(T_{\text{in}}-T\bigr)
dividindo por C:
M\frac{dT}{dt}=\dot{m}\bigl(T_{\text{in}}-T\bigr).
Finalmente, isolando \dfrac{dT}{dt}:
\frac{dT}{dt}=\frac{\dot{m}}{M}\bigl(T_{\text{in}}-T\bigr).
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem; fisicamente descreve uma aproximação exponencial da temperatura do tanque para T_{\text{in}}.

Passo 4

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (passo a passo):
\frac{dT}{dt}=-\frac{\dot{m}}{M}\bigl(T-T_{\text{in}}\bigr).
Separe as variáveis:
\frac{dT}{T-T_{\text{in}}}=-\frac{\dot{m}}{M}\,dt.
Integre ambos os lados, do tempo 0 até t e da temperatura T(0)=T_0 até T(t):
\int_{T_0}^{T(t)}\frac{dT}{T-T_{\text{in}}}=-\frac{\dot{m}}{M}\int_{0}^{t}dt.
A integral no lado esquerdo é um logaritmo natural:
\ln\!\bigl|T(t)-T_{\text{in}}\bigr|-\ln\!\bigl|T_0-T_{\text{in}}\bigr|=-\frac{\dot{m}}{M}\,t.
Rearranjando e exponenciando, obtemos a solução geral:
T(t)=T_{\text{in}}+\bigl(T_0-T_{\text{in}}\bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{\dot{m}}{M}t\Bigr).

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro note que
\frac{\dot{m}}{M}=\frac{0{,}2}{180}=\frac{1}{900}\\ \mathrm{s^{-1}}.
A solução fica
T(t)=10^\circ\mathrm{C}+\bigl(50^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C}\bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{t}{900}\Bigr)=10+40\exp\!\Bigl(-\frac{t}{900}\Bigr).
Queremos T(t)=25^\circ\mathrm{C}. Então:
25=10+40\exp\!\Bigl(-\frac{t}{900}\Bigr).
Isolando a exponencial:
\frac{25-10}{40}=0{,}375=\exp\!\Bigl(-\frac{t}{900}\Bigr).
Aplicando logaritmo natural:
-\frac{t}{900}=\ln(0{,}375)\quad\Rightarrow\quad t=-900\ln(0{,}375).
Calcule \ln(0{,}375). Temos \ln(0{,}375)\approx-0{,}980829. Portanto
t\approx-900\times(-0{,}980829)\approx882{,}7\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos:
882{,}7\\ \mathrm{s}\approx14{,}71\\ \mathrm{min}\approx14\\ \mathrm{min}\\\ 42{,}7\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Interpretação rápida para lembrar na prova: a constante de tempo do sistema é \tau=\dfrac{M}{\dot{m}}=900\\ \mathrm{s}=15\\ \mathrm{min}. A solução é uma decaída exponencial com essa constante de tempo; para cair de 50^\circ\mathrm{C} para 25^\circ\mathrm{C} (bem afastado da temperatura de entrada 10^\circ\mathrm{C}) leva cerca de 0{,}98\,\tau, como calculado acima. Força aí — você já entende a equação e como aplicá-la rapidamente na prova!

Resposta

t\approx882{,}7\\ \mathrm{s}\approx14{,}71\\ \mathrm{min}

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