As turbinas de uma usina hidroelétrica são acionadas por água que cai de uma altura de 80 m . Considerando eficiência de 88 \% para a conversão de energia potencial em elétrica e 10 \% de perdas na transmissão da potência resultante, qual é a vazão mássica de água necessária para manter acesa uma lâmpada de 150 watts?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a vazão mássica necessária:
  • altura da queda: \,h=80\\ \text{m}.
  • eficiência na conversão de energia potencial em elétrica: \,88\% (ou \,0{,}88).
  • perdas na transmissão: \,10\% (ou seja, apenas 90\% do que sai da usina chega à lâmpada, \,0{,}90).
  • potência da lâmpada que deve ser mantida acesa: \,P_{\text{lâmpada}}=150\\ \text{W}â.
O que pede o problema: encontrar a vazão mássica de água \,\dot{m} (em \,\text{kg/s}) que é necessária para fornecer os \,150\\ \text{W} à lâmpada, considerando as eficiências dadas.

Passo 2

Conceito energético básico que vamos usar (aula rápida e prática):
  • A energia potencial gravitacional por unidade de massa para uma queda de altura \,h é \,g h, onde \,g é a aceleração da gravidade. Em outras palavras, cada quilograma de água que cai libera energia potencial \,g h em joules por quilograma (J/kg).
  • Se a água cai com vazão mássica \,\dot{m} (em \,\text{kg/s}), a potência potencial associada a essa queda (antes de perdas) é
\dot{E}_{\text{pot}}=\dot{m}\,g\,h.
Explicando unidades: \,\dot{m} está em \,\text{kg/s}, \,g em \,\text{m/s}^2 e \,h em \,\text{m}. O produto dá \,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^3, que é joule por segundo = watt. Então faz sentido usar isso para potência.

Passo 3

Incorporando as eficiências:
  • A usina converte a potência potencial em potência elétrica com eficiência \,0{,}88. Assim a potência elétrica gerada é
P_{\text{gerada}}=\dot{m}\,g\,h\cdot 0{,}88.
  • Depois há 10\% de perdas na transmissão, logo apenas 90\% da potência gerada chega à lâmpada. Portanto a potência entregue à lâmpada é
P_{\text{lâmpada}}=\dot{m}\,g\,h\cdot 0{,}88\cdot 0{,}90.â
Essa é a equação que relaciona a vazão mássica \,\dot{m} com a potência necessária.

Passo 4

Isolando \,\dot{m} na equação acima:
\dot{m}=\frac{P_{\text{lâmpada}}}{g\,h\cdot 0{,}88\cdot 0{,}90}.â
Agora substituímos os valores numéricos. Usamos \,g=9{,}81\\ \text{m/s}^2, \,h=80\\ \text{m} e \,P_{\text{lâmpada}}=150\\ \text{W}â.
Calcule passo a passo:
g\,h=9{,}81\times 80=784{,}8.
0{,}88\times 0{,}90=0{,}792.
g\,h\cdot 0{,}88\cdot 0{,}90=784{,}8\times 0{,}792=621{,}5616.
Portanto
\dot{m}=\frac{150}{621{,}5616}\approx 0{,}241366\\ \text{kg/s}.
Arredondando com sensatez para três algarismos significativos:
\dot{m}\approx 0{,}241\\ \text{kg/s}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida (útil na prova para checar se faz sentido):
  • Convertendo para vazão volumétrica, usando densidade da água \,\rho\approx 1000\\ \text{kg/m}^3:
\dot{V}=\frac{\dot{m}}{\rho}\approx\frac{0{,}241}{1000}=0{,}000241\\ \text{m}^3/\text{s}=0{,}241\\ \text{L/s},
ou seja, cerca de um quarto de litro por segundo — bem pouco, faz sentido porque a queda é alta e as eficiências são razoáveis.
  • Checagem numérica direta: potência potencial fornecida por essa vazão é \,\dot{m}gh\approx 0{,}241\times 9{,}81\times 80\approx 189{,}7\\ \text{W}. Aplicando 88\% vira \approx 167{,}0\\ \text{W}, e cortando 10\% resulta em \approx 150{,}3\\ \text{W}, muito próximo dos 150\\ \text{W} pedidos — ótima confirmação.

Resposta

0,241\\ \text{kg/s}

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