As turbinas de uma usina hidroelétrica são acionadas por água que cai de uma altura de 80 m . Considerando eficiência de
para a conversão de energia potencial em elétrica e
de perdas na transmissão da potência resultante, qual é a vazão mássica de água necessária para manter acesa uma lâmpada de 150 watts?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede a vazão mássica necessária:
- altura da queda:
. - eficiência na conversão de energia potencial em elétrica:
(ou ). - perdas na transmissão:
(ou seja, apenas do que sai da usina chega à lâmpada, ). - potência da lâmpada que deve ser mantida acesa:
.
O que pede o problema: encontrar a vazão mássica de água
(em
) que é necessária para fornecer os
à lâmpada, considerando as eficiências dadas.
Passo 2
Conceito energético básico que vamos usar (aula rápida e prática):
- A energia potencial gravitacional por unidade de massa para uma queda de altura
é , onde é a aceleração da gravidade. Em outras palavras, cada quilograma de água que cai libera energia potencial em joules por quilograma (J/kg). - Se a água cai com vazão mássica
(em ), a potência potencial associada a essa queda (antes de perdas) é
Explicando unidades:
está em
,
em
e
em
. O produto dá
, que é joule por segundo = watt. Então faz sentido usar isso para potência.
Passo 3
Incorporando as eficiências:
- A usina converte a potência potencial em potência elétrica com eficiência
. Assim a potência elétrica gerada é
- Depois há
de perdas na transmissão, logo apenas da potência gerada chega à lâmpada. Portanto a potência entregue à lâmpada é
Essa é a equação que relaciona a vazão mássica
com a potência necessária.
Passo 4
Isolando
na equação acima:
Agora substituímos os valores numéricos. Usamos
,
e
.
Calcule passo a passo:
Portanto
Arredondando com sensatez para três algarismos significativos:
Passo 5
Interpretação e verificação rápida (útil na prova para checar se faz sentido):
- Convertendo para vazão volumétrica, usando densidade da água
:
ou seja, cerca de um quarto de litro por segundo — bem pouco, faz sentido porque a queda é alta e as eficiências são razoáveis.
- Checagem numérica direta: potência potencial fornecida por essa vazão é
. Aplicando vira , e cortando resulta em , muito próximo dos pedidos — ótima confirmação.