Um tanque de capacidade total de 40 m^3 encontra-se inicialmente cheio de uma solução de sal com concentração de 120 g / L. O tanque é provido de duas bombas iguais instaladas nas tubulações de entrada e de saída com capacidade de bombear 150 L / min.
Necessita-se obter 40 m^3 da solução de sal com concentração de 35 g / L. Isso pode ser realizado de duas formas:
a) Retirar uma parte do volume da solução original do tanque e, posteriormente, diluir com água até completar os 40 m^3.
b) Diluir continuamente os 40 m^3 da solução original com água retirando a solução à mesma vazão até atingir a concentração desejada.
Considerando as densidades constantes e iguais em todas as correntes, obtenha a forma mais rápida e a mais econômica.

Passo 1

O enunciado trata de um problema de mistura em que temos um tanque de 40 m^3 (ou seja, 40000 L) inicialmente com solução de sal a 120 g/L. Queremos obter ao final 40000 L com concentração 35 g/L. As duas formas propostas são:
a) batch: retirar parte da solução e completar com água;
b) contínua: alimentar com água e retirar mistura simultaneamente.
Para comparar vamos calcular, em cada método, o tempo de operação (considerando bombas de 150 L/min) e o volume de água consumido.

Passo 2

Método (a) – batch
1. Após retirar um volume V da solução original, resta (40000 - V) litros com concentração 120 g/L, ou seja massa de sal
M1 = (40000 - V) times 120
2. Ao completar o volume para 40000 L com água pura, a concentração final deve ser 35 g/L, de modo que
M140000 = 35 ;Longrightarrow; (40000 - V),12040000 = 35 Longrightarrow V = 40000l(1 - 35120r) = 28333,3 L
3. Tempo de retirada:
trm ret = V150 approx 28333,3150 = 188,9 min
Tempo de enchimento com água (mesma vazão): trm ench = 188,9 min.
Portanto o tempo total do método (a) é
ta = trm ret + trm ench = 2times188,9 = 377,8 min

Passo 3

Método (b) – contínuo
1. Volume no tanque permanece constante em V=40000 L. A massa de sal M(t) satisfaz
dot M = -15040000,M,
pois entra água sem sal e sai mistura com vazão 150 L/min.
2. Solução da EDO:
M(t)=M0,e^-tfrac15040000t,
once M0=40000times120. Queremos M(tb)=40000times35, logo
e^-tfrac15040000tb=35120 ;Longrightarrow; tb = 40000150,ln12035 approx 328,6 min
3. Volume de água consumida em (b) é simplesmente o fluxo vezes o tempo:
Vb = 150,tb approx 150times328,6 = 49285,7 L

Passo 4

Comparando os dois métodos:
  • Tempos:
    tb approx 328,6 min < ta approx 377,8 min,
    logo (b) é mais rápida.
  • Consumo de água:
    V = 28333,3 L em (a) é menor que 49285,7 L em (b),
    logo (a) é mais econômica em água.

Resposta

Forma mais rápida: (b)
Forma mais econômica: (a)

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