Um tanque contém 15 kg de ar seco e 0.17 kg vapor de água a 30^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa de pressão total. Determine a) A umidade absoluta b) A umidade relativa e c) o volume do tanque.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede 3 coisas:
Dados fornecidos:
  • Massa de ar seco: m_a = 15\\ \mathrm{kg}.
  • Massa de vapor de água: m_v = 0,17\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura: T = 30^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão total: P = 100\\ \mathrm{kPa}.
O que o enunciado pede:
(a) a umidade absoluta (razão massa de vapor / massa de ar seco);
(b) a umidade relativa;
(c) o volume do tanque.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a umidade absoluta. Definição e ideia prática:
  • A umidade absoluta (também chamado de razão de mistura ou humidity ratio) é a massa de vapor por unidade de massa de ar seco. É uma quantidade simples e muito usada em termodinâmica do ar úmido.
  • Fórmula:
\omega=\frac{m_v}{m_a},
onde \omega é a umidade absoluta (em \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}), m_v é a massa de vapor e m_a a massa de ar seco.
Aplicando os números dados:
\omega=\frac{0,17}{15}=0,011333\ldots
Arredondando de forma razoável (3 casas significativas):
\omega \approx 0,01133\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.

Passo 3

Agora precisamos da umidade relativa. Estratégia:
  • A umidade relativa \varphi é a razão entre a pressão parcial do vapor de água p_v e a pressão de saturação do vapor àquela temperatura p_{sat}(T):
\varphi=\frac{p_v}{p_{sat}(T)}.
  • Nós não temos p_v diretamente, mas temos \omega. Existe uma relação entre \omega e p_v que vem da hipótese de gás ideal aplicada ao vapor e ao ar seco e que usa a constante 0,622 (relação das massas molares / constantes dos gases):
\omega=\frac{0,622\,p_v}{P-p_v}.
Essa fórmula vale porque:
  • Para cada componente ideal m=\dfrac{pV}{R T}. Tomando razão das massas do vapor e do ar seco e reorganizando chega-se à forma acima, onde 0,622 é aproximadamente \dfrac{R_v}{R_a} / fator relacionado às massas molares.
Resolver essa equação para p_v:
p_v=\frac{\omega\,P}{0,622+\omega}.
Agora substituímos \omega e P:
p_v=\frac{0,011333\cdot 100}{0,622+0,011333}=\frac{1,1333}{0,633333}\\ \mathrm{kPa}.
Calculando:
p_v\approx 1,788235\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Precisamos de p_{sat}(T) em T=30^\circ\mathrm{C}. Esse valor vem de tabelas de vapor (tabelas termodinâmicas). Pegando a tabela:
p_{sat}(30^\circ\mathrm{C})=4,246\\ \mathrm{kPa}.
Agora calculamos a umidade relativa:
\varphi=\frac{p_v}{p_{sat}}=\frac{1,788235}{4,246}\approx 0,4212.
Em porcentagem:
\varphi\approx 42,12\%.

Passo 5

Agora o volume do tanque. Estratégia e fórmula:
  • Podemos usar a porção de ar seco (mais simples): aplicar a equação dos gases ideais ao ar seco usando a sua pressão parcial p_a:
p_a V = m_a R_a T,
onde p_a=P-p_v é a pressão parcial do ar seco, R_a é a constante específica do ar seco e T a temperatura em kelvin.
  • Constantes e conversões:
    • R_a = 0,287\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}.
    • T = 30^\circ\mathrm{C} = 303,15\\ \mathrm{K}.
    • p_a = P - p_v = 100 - 1,788235 = 98,211765\\ \mathrm{kPa}.
Isolando V:
V=\frac{m_a R_a T}{p_a}.
Calcule passo a passo:
R_a T = 0,287\cdot 303,15 = 87,00405\\ (\mathrm{kPa\cdot m^3/kg}).
m_a R_a T = 15\cdot 87,00405 = 1305,06075\\ (\mathrm{kPa\cdot m^3}).
V=\frac{1305,06075}{98,211765}\\ \mathrm{m^3}\approx 13,29\\ \mathrm{m^3}.

Passo 6

Checagem (opcional, útil para a prova): podemos obter V também a partir do vapor de água usando p_v V = m_v R_v T com R_v=0,4615\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}. Isso deve dar o mesmo V (ou muito próximo, por consistência numérica):
V=\frac{m_v R_v T}{p_v}=\frac{0,17\cdot 0,4615\cdot 303,15}{1,788235}\approx 13,29\\ \mathrm{m^3},
confirmando o resultado anterior (boa prática: isso confirma que os cálculos e as constantes estão consistentes).

Resposta

(a) \omega = 0,01133\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}
(b) \varphi \approx 0,4212 \approx 42,12\%
(c) V \approx 13,29\\ \mathrm{m^3}

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