Um tanque isolado termicamente, cujo volume é desconhecido está dividido em 2 partes. No lado esquerdo, temos 0,01 m^{3} de ar à pressão de 0,8 M P_{a} e temperatura ambiente \left(25^{\circ} \mathrm{C}\right), enquanto o outro lado está vazio. A divisória é removida, e o ar se expande, ocupando agora todo o volume. Se a temperatura final for de 10^{\circ} \mathrm{C} e a pressão de 120 k P_{a}, determine o volume do tanque.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Volume inicial do ar no lado esquerdo: V_i = 0,01\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Pressão inicial do ar: P_i = 0,8\\ \mathrm{MPa}.
  • Temperatura inicial do ar: T_i = 25^\circ\mathrm{C}.
  • O outro lado do tanque está vazio (vácuo) antes da remoção da divisória.
  • Após remover a divisória o ar ocupa todo o volume do tanque.
  • Temperatura final do ar: T_f = 10^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão final do ar: P_f = 120\\ \mathrm{kPa}.
  • Volume total do tanque (desconhecido) é o que se pede: V.
Pergunta que temos que responder:
  • Determinar o valor de V, o volume total do tanque.

Passo 2

Estratégia e princípio físico a usar (explicação didática):
Quando a divisória é removida o sistema é fechado (o ar permanece dentro do tanque) e não há troca de massa com o exterior. Ou seja, a massa de ar é conservada. Mesmo que o processo seja irreversível, a conservação de massa vale sempre.
Para relacionar pressão, volume e temperatura de um gás usamos a lei dos gases ideais. A forma mais útil aqui é:
P\,V = m\,R\,T,
onde:
  • P é a pressão absoluta (em \mathrm{Pa}),
  • V é o volume ocupado pelo gás (em \mathrm{m^{3}}),
  • m é a massa do gás (em \mathrm{kg}),
  • R é a constante específica do gás (para o ar R \approx 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
Como a massa m é a mesma no estado inicial e no estado final, podemos escrever para os dois estados:
m = \frac{P_i V_i}{R T_i} \qquad\text{e}\qquad m = \frac{P_f V}{R T_f}.
Igualando as duas expressões para m e cancelando R obtemos uma relação direta entre volumes, pressões e temperaturas:
\frac{P_i V_i}{T_i}=\frac{P_f V}{T_f}
ou isolando V:
V = \frac{P_i\,V_i\,T_f}{P_f\,T_i}.
Observação pedagógica: é muito conveniente quando R cancela — assim não precisamos do valor numérico de R. A fórmula acima é a que vamos usar para calcular V. Antes de substituir, convertemos todas as grandezas para unidades do SI e temperaturas para Kelvin.

Passo 3

Conversões para o SI e preparação dos dados:
  • Converter pressões para pascal: P_i = 0,8\\ \mathrm{MPa} = 0,8\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} = 8\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
P_f = 120\\ \mathrm{kPa} = 120\times10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 1,2\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter temperaturas para Kelvin: T_i = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273,15 = 298,15\\ \mathrm{K},
T_f = 10^\circ\mathrm{C} = 10 + 273,15 = 283,15\\ \mathrm{K}.
  • Volume inicial já em SI: V_i = 0,01\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Substituição na fórmula e manipulação algébrica (mostrar contas passo a passo):
Usando
V = \frac{P_i\,V_i\,T_f}{P_f\,T_i},
substituímos os valores convertidos:
V = \frac{\left(8\times10^{5}\right)\cdot\left(0,01\right)\cdot\left(283,15\right)} {\left(1,2\times10^{5}\right)\cdot\left(298,15\right)}\\ \mathrm{m^{3}}.
Calculemos numerador e denominador separadamente para ficar claro:
  • Numerador: \left(8\times10^{5}\right)\cdot\left(0,01\right)=8\times10^{3}.Então \text{numerador} = 8\times10^{3}\cdot 283,15 = 2265200.
  • Denominador: \left(1,2\times10^{5}\right)\cdot 298,15 = 35778000.
Agora a divisão:
V = \frac{2265200}{35778000}\\ \mathrm{m^{3}}.
Dividindo os números:
V \approx 0,0633\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Verificação rápida de consistência e interpretação:
  • O volume final V é maior que o volume inicial V_i=0,01\\ \mathrm{m^{3}}, o que faz sentido porque o ar expandiu para ocupar todo o tanque.
  • Em litros, V\approx 63,3\\ \mathrm{L} (só para intuição: 1\\ \mathrm{m^{3}}=1000\\ \mathrm{L}).
  • A conta usou apenas conservação de massa e a lei dos gases ideais; isso é válido mesmo para processos irreversíveis, desde que a massa seja a mesma e as condições finais sejam homogêneas (pressão e temperatura finais bem definidas).
Força aí — tá feito, exercício resolvido!

Resposta

0,0633\\ \mathrm{m^{3}}

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